Lily metod

Lilys metod är en grafisk metod för att hitta de verkliga rötterna till polynom av godtycklig grad, en grafisk representation av Horners schema .

Historik

Metoden föreslogs av den österrikiske ingenjören Eduard Liel 1867 [1] och generaliserades i hans senare arbete. [2]

Beskrivning av metoden

• Lösning av ekvationen 2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 1,5x + 0,75 = 0.

• Inte en lösning på ekvationen 2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 1,5x + 0,75 = 0.

• Tre rötter -1/2, -1/√2, 1/√2 av polynomet 4 x 3  + 2 x 2  - 2 x  - 1. Rötterna motsvarar tre inskrivna polygonala linjer.

En rektangulär polygonal linje dras från origo för koordinater. Den första länken är ritad till höger, dess längd är lika med den högsta koefficienten; om den är negativ slutar länken till vänster om ursprunget. Från slutet av det första segmentet dras nästa segment upp av värdet på den andra koefficienten, sedan till vänster med värdet på det tredje, nedåt med värdet av det fjärde, och så vidare. Sekvensen av riktningar ändras i en cykel till höger, upp, vänster, ner och upprepas sedan. Således är varje rotation moturs (om koefficienterna är positiva). Processen fortsätter för varje koefficient i polynomet, inklusive nollor. För ett polynom av n :e graden får vi en streckad linje med n  + 1 länkar.

Den resulterande polylinjen är inskriven med en rektangulär polylinje som förbinder ändarna av den ursprungliga polylinjen med hörn placerade sekventiellt på fortsättningarna av länkarna i den ursprungliga polylinjen. Lutningen på den inskrivna polylinjen, tagen med motsatt tecken, är roten till det ursprungliga polynomet. Dessutom kan vilken riktig rot som helst erhållas på detta sätt.

Applikationer

• 1936 använde Margarita Belokh Lilys metod för att lösa kubiska ekvationer med origami . [3]
  • Samma idé används för att bevisa att de verkliga rötterna till en ekvation av vilken grad som helst kan hittas med -fold origami-veck. [fyra]

Anteckningar

1. ↑ M.E. Lill. Upplösning graphique des équations numériques de tous degrés à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but  (franska)  // Nouvelles Annales de Mathématiques :tidskrift. - 1867. - Vol. 2 . - s. 359-362 .
2. ↑ M.E. Lill. Upplösning graphique des équations algébriques qui ont des racines imaginaires  (franska)  // Nouvelles Annales de Mathématiques :tidskrift. - 1868. - Vol. 2 . - s. 363-367 .
3. ↑ Thomas C. Hull. Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill  (engelska)  // American Mathematical Monthly  : journal. - 2011. - April. - s. 307-315 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.04.307 .
4. ↑ Roger C. Alperin och Robert J. Lang . En-, två- och flerfaldiga origamiaxiom  (odefinierade)  // 4OSME. — A.K. Peters, 2009.

Litteratur

• Shan-Giray A., Florinsky G. Grafisk lösning av ekvationer. Lille-metoden  // V.O.F.E.M. . - 1889. - N:o 61 . - S. 6-10 . (ryska)