Ferrari metod

Ferrarimetoden är en analytisk metod för att lösa en fjärdegrads algebraisk ekvation , föreslagen av den italienske matematikern Lodovico Ferrari .

Beskrivning av metoden

Låt ekvationen för den e graden ha formen $fyra$

x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

(ett)

If är en godtycklig rot av kubikekvationen $y_1$

y^{3}-by^{2}+(ac-4d)ya^{2}d+4bd-c^{2}=0

(2)

( huvudekvationens upplösning ), då hittas de fyra rötterna i den ursprungliga ekvationen som rötterna till två andragradsekvationer

x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}} {4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1 }^{2}}{4}}-d}},

där det radikala uttrycket på höger sida är en perfekt kvadrat. Observera att diskriminanterna i den ursprungliga ekvationen (1) av fjärde graden och ekvationen (2) sammanfaller.

Vi representerar ekvationen för fjärde graden i formen:

Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,

Dess lösning kan hittas från följande uttryck:

\alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},

\beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},

\gamma = -{3 B^4 \över 256 A^4} + {B^2 C \över 16 A^3} - {BD \över 4 A^2} + {E \över A},

om vi löser och gör en substitution finner vi rötterna:

\beta=0

u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0

x=u-{B\över 4A}

x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2)), \qquad \beta =0

P=-{\alpha ^{2} \över 12}-\gamma ,

Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},

R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{{2}} \over 4}+{P^{{3}} \over 27}}}

, (vilket som helst kvadratrottecken duger)

U={\sqrt[ {3}]{R}}

, (tre komplexa rötter, varav en duger)

y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[ {3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},

W={\sqrt {\alpha +2y))

x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W }\right)}} \över 2}.

Här och är två oberoende parametrar, som var och en är antingen , eller . Antalet möjliga par av deras värden är fyra, och varje par producerar en av de fyra rötterna av den ursprungliga ekvationen av fjärde graden. Om någon av rötterna är en multipel av , är antalet värdepar som ger den lika med graden av dess multiplicitet. Beroende på valet (det finns en tvetydighet när man tar kubroten), kommer rötterna att matcha paren i en annan ordning.

{\displaystyle \pm _{s))

{\displaystyle \pm _{t))

+

-

{\displaystyle \pm _{s))

{\displaystyle \pm _{t))

U

Slutsats

Låt det finnas en ekvation av kanonisk form:

\ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0

Låt oss beteckna rötterna till ekvationen som . För rötterna till ekvationen i kanonisk form kommer följande relation att gälla: $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$

\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:

Denna ekvation kommer att ha minst två ogiltiga rötter som kommer att vara konjugerade till varandra. Vi kommer att anta att detta

\ x_{3}=-W+iV

\ x_{4}=-W-iV

Och , är reella siffror. Då kan de andra två rötterna skrivas som $W$ $V$

\ x_{1}=W+iK

\ x_{2}=W-iK

Här kan det vara antingen verkligt eller rent inbillat. Vi uttrycker a i termer av ekvationens rötter $K$

\ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{ 3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=

\ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^ {2}

Vi uttrycker K i termer av de återstående koefficienterna:

\ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}

\ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2} V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}

eller

\ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0

Total

\ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4))})

\ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cdot (2W)=2W(V^{2} }-K^{2})=

\ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4))}

Eller $\ b^{2}=4W^{2}\cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})$

Härifrån $\ 64W^{6}+32aW^{4}+4(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0$

Genom att ersätta , får vi upplösningen och löser vilken vi finner W $\ y=W^{2}$

Historik

Från 15 års ålder var Luigi Ferrari en elev av den milanesiske matematikern Gerolamo Cardano , som snabbt upptäckte hans enastående förmågor. Vid det här laget var Cardano redan känd för en algoritm för att lösa kubiska ekvationer ; Ferrari kunde hitta ett liknande sätt att lösa ekvationer av fjärde graden . Cardano publicerade båda algoritmerna i sin bok High Art.

Ferrari metod

Beskrivning av metoden

Slutsats

Historik

Se även

Länkar