Pentrymetod

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 juli 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Galärmetoden (genomslagsmetoden)  är en indelningsmetod som användes mest i Europa fram till omkring 1600-talet, och som fortsatte att vara populär fram till slutet av 1700-talet [4] . Metoden uppstod utifrån kinesiska och indiska metoder. Metoden nämns av Al-Khwarizmi i verk av 825 [4] , av Luca Pacioli 1492 [3] .

Till skillnad från tidigare metoder, i denna metod raderades inte siffrorna, utan överstrukna [4] . Det liknar den moderna metoden för division med en kolumn , men i galärmetoden fortsatte subtraktionen av delprodukter från vänster till höger och inte från höger till vänster, som i moderna metoder.

Metoden fick sitt namn för likheten mellan de linjer som registrerades under beräkningen med siluetten av fartyget med samma namn [4] [3] . Samtidigt liknade de sneda linjerna som användes för att stryka ut siffrorna åror. Ibland, för att få en likhet, måste ritningen roteras 90° [5] .

En liknande metod användes också för att extrahera rötterna .

Historik

Aritmetiska operationer med ökande antalskapacitet blir mycket arbetskrävande och känsliga för mekaniska fel, och division är den svåraste av dem. ”Svåra affärer är splittring” ( italienska  dura cosa e la partita ) var ett urgammalt italienskt uttryck [6] :40 .

Även om division ansågs vara en svår operation i Europa fram till 1400-talet, ansågs divisionen inte vara särskilt svår i Kina och Indien [4] [7] . Indelningsmetoden nämns i " Matematik i nio böcker " (2:a århundradet e.Kr.) och beskrivs i detalj i Mathematical Treatise Sun Tzu (3:e-5:e århundradet) [4] . Många indiska verk om matematik beskriver inte divisionsmetoden, förutsatt att den är känd. Till exempel, Aryabhata (499) skriver inte om metoden för division , även om metoden för division utan tvekan var känd för sina läsare, eftersom Aryabhata beskriver en metod för att extrahera rötter som kräver division. I indisk matematik nämns först en divisionsmetod som liknar kinesiska av Sridhari (cirka 800). En detaljerad beskrivning av metoden ges av Aryabhata II på X-talet [7] .

Den indiska metoden gjordes i sand eller krita på en svart tavla. Den kinesiska metoden använde pinnar som siffror. I båda fallen var siffrorna lätta att radera. I dessa metoder skrevs divisorn under utdelningen. Som i den moderna kolumndelningsmetoden subtraherades delprodukter från utdelningen (det vill säga produkterna från divisorn med varje siffra i svaret, förskjuten med lämpligt antal siffror). Men till skillnad från den moderna metoden raderades den gamla utdelningen, och skillnaden skrevs på sin plats, medan delprodukten i sig inte skrevs ner, och inte ens beräknades, och subtraktionen skedde bit för bit från vänster till höger. Därefter flyttades divisorn en siffra åt höger (denna operation i det medeltida Europa kallades anterioratio på latin ) [7] [4] . I den kinesiska (och möjligen i den indiska metoden) skrevs kvoten över divisorn [4] .

Denna metod blev känd för araberna, från och med Al-Khwarizmis (825) verk [7] [4] . Därifrån kom denna metod till Europa [7] . I Europa genomfördes delningen med bläck på papper, på grund av detta genomgick delningsmetoden en naturlig modifiering på grund av att siffrorna inte raderades utan ströks över [3] [7] [4] . När man subtraherade delprodukter från divisorn skrevs resultatet överst. Det blev opraktiskt att skriva kvoten över utdelningen, man började skriva den till höger [4] . Denna modifiering blev känd som galejmetoden ( galea, batello ) [7] , britterna kallade även denna metod för skrapmetoden [5] [ 7 ] . 

Den berömda italienska matematikern Niccolò Tartaglia (XVI-talet) skrev i sin berömda aritmetiklärobok följande om metoden [6] :41 :

Den andra indelningsmetoden kallas i Venedig för en båt eller en pentry, på grund av en viss likhet med figuren som blir resultatet av detta, eftersom vid divisionen av vissa sorters tal bildas en figur som ser ut som en båt, och i andra - som ett pentry, som är riktigt vackert; ibland är en byss väl färdig och utrustad med alla tillbehör - den är upplagd från siffrorna på ett sådant sätt att den verkligen framstår i form av en byss med akter och för, mast, segel och åror.

Originaltext  (italienska)[ visaDölj] Il secondo modo di partire, è detto in Venetia per batello, ouer per galea per certe similitudine di figure, che di tal atto resultano, perche in la partitione di alcune specie di numeri nasce vna certa figura alla similitudine di vno batello, material, & in alcuni altri, vna figura simile a vna galea legno maritimo, perche in effetto il pare vna gentilezza a vedere, in alcune specie di numeri vna galea ben lauorata, & tratteggiata con li suoi depenamenti protratti tutti, per vn verso, talmente dispositione paiono veramente vna figura simile alla detta galea material, con la proua, poppa, albero, vela, & remi, come che nel processo si vedra manifesto [1] :32 .

Det är intressant att notera att bläckbytemetoden togs tillbaka till Kina från Europa och publicerades i en avhandling om europeisk aritmetik 1613 [4] .

I Ryssland användes galärmetoden fram till mitten av 1700-talet: i "Aritmetiken" av Leonty Magnitsky beskrivs den bland de sex indelningsmetoder som föreslagits där och rekommenderas särskilt av författaren; under hela presentationen av materialet i sin bok använder Magnitsky huvudsakligen galärmetoden, utan att nämna själva namnet [6] :41,42 .

Konkurrerande med galärmetoden var den så kallade "italienska metoden" [3] (eller "gyllene division" [5] ), som nu är känd som kolumndelning . Denna metod dök upp i tryck 1491 i "Arithmetic" [8] av Calandri , även om den ännu tidigare hittades i manuskript från 1400-talet [3] . I den beräknades delprodukten uttryckligen och skrevs under utdelningen, drogs sedan av från utdelningen, och resultatet skrevs nedan. Subtraktionen utfördes, som i den vanliga kolumntillägget , med utgångspunkt från de minst signifikanta siffrorna, vilket gjorde det möjligt att spara på inspelningen, men samtidigt var det nödvändigt att komma ihåg överföringen av urladdningen i sinnet [3] . Den största fördelen med denna metod är att alla åtgärder är synliga från dess inspelning - detta gör det lättare att kontrollera beräkningar och snabbt korrigera fel. Nackdelen med denna metod är dock att du i den måste multiplicera flersiffriga tal med ensiffriga [5] .

Därefter dök en förkortad divisionsmetod ("österrikisk metod") upp. Det liknade italienska, men, till skillnad från det, i det, som i köksmetoden, beräknades inte delprodukter explicit - de subtraherades omedelbart bit för bit. Men till skillnad från galärmetoden gjordes subtraktioner med utgångspunkt från de minst signifikanta siffrorna, vilket gjorde det möjligt att spara på inspelningen. Således kombinerade denna metod fördelarna med köksmetoden och den italienska metoden [3] . Nackdelen med denna metod är att räknaren behöver lagra mer information i sinnet.

Alla dessa metoder konkurrerade i Europa med "järndelning": kulramsdelningsmetoden som beskrevs av matematikermunken Herbert (blivande påven Sylvester II) [5] .

Essensen av metoden

Galärmetoden, även om den är svårare att skriva, liknar den moderna metoden för uppdelning efter kolumn . Precis som vid division med en kolumn, beräknas kvoten med siffror, med början på den mest signifikanta siffran: vid varje steg väljs en siffra av kvoten. Den största siffran tas som den privata siffran så att delprodukten (produkten av denna siffra och divisorn förskjuten med motsvarande antal siffror) kan subtraheras från utdelningen, medan den kvarstår i positiva tal. Därefter subtraheras delprodukten från utdelningen, själva divisorn flyttas en bit åt vänster och processen upprepas. Till skillnad från modern division med en kolumn, i galärmetoden, beräknas inte delprodukten, och subtraktionen sker med siffror från vänster till höger. Dessutom, i galärmetoden, skrivs resultatet av subtraktionen överst, inte längst ner.

Exempel

Betrakta ett exempel från Treviso Arithmetic (1478), där 65284 är dividerat med 594 [4] . Exemplet är uppdelat i flera steg: vid varje steg är siffrorna som läggs till i detta steg i fet stil och siffrorna som är genomstrukna är kursiverade. För att underlätta uppfattningen är siffrorna med vilka åtgärder utförs markerade i färg, i själva verket användes endast en färg av bläck i metoden.

Först skrevs divisorn ( 594 ) under utdelningen ( 65284 ):

65284 594

Steg 1: Divisor 594 anger 652 endast en gång . Så den första siffran i kvoten är 1 . Vi skriver det till höger och subtraherar från utdelningen 1 × 594 (förskjutet med två siffror). I galärmetoden görs detta från vänster till höger: först subtraheras den första siffran (5), sedan den andra siffran (9), och slutligen den sista siffran (4) från motsvarande siffror.

    652 84 | 1 594

Steg 1 : 594 anger
652 en gång .

  1 6 5284 | 1 5 94

Steg 1a: 6 − 5 = 1

  1 6 6 5 284 | 1 5 9 4

Steg 1b: 15 − 9 = 6

5 1 6 8 65 2 84 | 1 59 4

Steg 1c: 62 − 4 = 58

Steg 2: Flytta divisorn en bit åt höger ( anterioratio ). Eftersom den resulterande offsetdivisorn ( 594 ) är större än vad som är kvar av utdelningen ( 588 ...), kan vi inte subtrahera divisorn ens en gång, vilket betyder att den andra siffran i kvoten är 0 :

5 16 8 652 8 4 | 1 0 594 4 59

Steg 2: 594 går
in i 588 noll gånger.

Steg 3: Flytta divisorn en bit till åt höger. Nu måste vi subtrahera 594 från 5884 . Detta kan göras 9 gånger. Skriv 9 som en kvot och subtrahera 9 × 594 från utdelningen . I det här fallet beräknar vi inte 9 × 594 , utan subtraherar helt enkelt 9 × 5 , 9 × 9 och 9 × 4 från motsvarande siffror.

  5 16 8 652 84  | 10 9 5944 4 59 9 5

Steg 3: 594 går
in i 5884 nio gånger.

1 5 3 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5

Steg 3a: 58 − 9 × 5 = 13

1 5 5 3 168 7 652 8 4 | 109 59444 59 9 5

Steg 3b: 138 − 9 × 9 = 57

1 5 53 3 168 7 8 6528 4  | 10 9 5944 4 599 5

Steg 3c: 74 − 9 × 4 = 38

Svar: att dividera 65284 med 594 ger kvoten 109 och resten är 538 .

1 5 53 3 1687 8 65284  | 109 59444 599 5

Fullständigt beräkningsresultat

Jämförelse med andra metoder

Som jämförelse presenterar vi samma division, utförd med radering av siffror, samt italienska och österrikiska metoder [3] . Som nämnts ovan skiljer sig dessa metoder i hur de subtraherar delprodukten. Till exempel subtraherar det sista steget delprodukten av 9×594. I den italienska metoden beräknas först 9×594=5346 och sedan subtraheras resultatet. I pentrymetoden och i metoden med radering av siffror beräknas inte produkten utan subtraheras sekventiellt: 9×500, 9×90, 9×4. Samtidigt, i metoden med radering av siffror, skrivs resultatet i stället för det subtraherade, och i galärmetoden skrivs det överst, och de gamla siffrorna är överstrukna. Slutligen, i den österrikiska metoden, beräknas produkten inte heller, utan subtraheras sekventiellt: 9×4, 9×90, 9×500. Eftersom subtraktionerna börjar med de lägre bitarna, skrivs endast en bit vid varje steg, och den mest signifikanta biten överförs , vilket gör att du kan förkorta notationen, men kräver att du kommer ihåg bäringen i ditt sinne.


Metod för att radera siffror

65284 |  594  594 | 109 5884 5346 538

Italiensk metod

65284 |  594  5884 | 109 538    

Österrikisk metod

Alternativ

Inga genomstrukna siffror

Ibland var siffrorna inte överstrukna. I det här fallet beaktades endast de högsta och lägsta siffrorna. I det här fallet skrevs nollor i stället för genomstruken överst i kolumnen. Se illustrationen i början av artikeln.

Med beräkningen av delprodukter

Ibland beräknades delprodukter. Detta alternativ skiljer sig praktiskt taget inte från den moderna uppdelningen med en kolumn. Den enda skillnaden är var siffrorna är skrivna: köksmetoden använder mindre papper, eftersom siffrorna är skrivna mer kompakt, utan tomt utrymme mellan dem. Men när man dividerar med en kolumn blir beräkningarna mer synliga och lättare att kontrollera.

Som ett exempel på detta alternativ, överväg att dividera 44977 med 382 [2] . En siffra motsvarar att få en decimal av kvoten.

1) 67 (Multiplikation: 1 x382= 382 ) 382 | 449 77 | 1 (Skillnad: 449 − 382 = 67 ) 382 2) 29 (Multiplikation: 1 x382= 382 ) 67 5 (Skillnad: 677 − 382 = 295 ) 382 | 449 7 7 | 1 1 382 2 38 3) 2 (Multiplikation: 7 x382= 2674 ) 29 8 (Skillnad: 2957 − 2674 = 283 ) 67 5 3 382 | 44977 | _ 11 7 Svar: Privat 117 , återstoden 283 . 3822 4 38 7 26


Divisionskontroll

Det fanns en metod för att kontrollera resten av divisionen med ett litet antal. Oftast användes metoden för att kontrollera med rester med 9 , eftersom resten när de delas med 9 är mycket lätt att hitta: hitta bara summan av siffrorna i talet. Denna verifieringsmetod fångade dock inte vanliga fel när siffran hamnade på fel plats. Därför användes också mer tillförlitliga, men komplicerade metoder: att kontrollera resten för 7 eller 11.

Kärnan i metoden är som följer. Antag att när vi dividerar ett tal med , får vi en ofullständig kvot och en rest . Detta betyder att . För att kontrollera denna likhet beräknades resten av , , och för ett litet antal (till exempel 9). Låt dessa rester vara , , respektive . Då och måste ha samma rest.

Dessa rester skrevs i form av en "flagga": Ibland användes istället för ett kryss + ett kryss × .

Till exempel fick Niccolo Tartaglia [1] :34 när man dividerade 912345 med 1987 459 och 312 i resten. För att kontrollera detta tog han resten av dessa siffror när de delas med sju: 912 345 ger en rest av 0, 1987 ger 6, 459 ger 4, 312 ger 4. Tartaglia skriver detta som Sedan kontrollerar han att det är delbart med sju med en rest av 0. Så resultatet klarade testet [9] .

Extraktion av rötter

En liknande metod användes för att extrahera rötter . Precis som vid division var svaret i siffror.

För att extrahera kvadratrötter vid varje steg subtraherades kvadraten på det redan erhållna delsvaret från talet. För detta användes formeln . Nämligen, om i något steg en siffra tilldelas delsvaret (det vill säga ett nytt delsvar ), måste vi subtrahera från det ursprungliga talet . Men vi subtraherade redan i föregående steg. Så vi måste subtrahera . För att göra detta skrevs i galärmetoden numret nedan, figuren skrevs till höger och sedan subtraherades delprodukten, som i den vanliga metoden [11] .

Vid utvinning av rötter av högre grader användes Newtons binomial , vilket var känt redan före Newton [12] .

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 Nicolo Tartaglia . Bok ett // General trattato di numeri, et misure. — Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556.
  2. ↑ 1 2 Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. En historia om matematik . — John Wiley & Sons, 2011-01-25. — 680 s.
  3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Leland Locke. Ren matematik // Universums vetenskapshistoria / Francis Rolt-Wheeler (chefredaktör). New York: Current Literature Pub. Co.. - Vol. VIII. — 354 sid. - S. 48-52. Arkiverad 19 februari 2020 på Wayback Machine
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Lam Lay-Yong. On the Chinese Origin of the Galley Method of Arithmetical Division  (engelska)  // The British Journal for the History of Science. - 1966/06. — Vol. 3 , iss. 1 . - S. 66-69 . - doi : 10.1017/S0007087400000200 . Arkiverad från originalet den 10 april 2019.
  5. ↑ 1 2 3 4 5 Encyklopedi för barn . T. 11. Matematik / Kapitel. ed. M. D. Aksyonova. - M .: Avanta +, 1998. - S. 132-134. — ISBN 5-89501-018-0 .
  6. ↑ 1 2 3 Perelman Ya. I. Underhållande aritmetik. - 8:e uppl. - M . : Detgiz , 1954. - 100 000 exemplar.
  7. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 B. Datta , AN Singh. Del I: Numerisk notation och aritmetik // History of Hindu Mathematics: A Source Book . - 1962. - S. 150.
  8. ↑ Filippo Calandri. Aritmetica  (italienska) / Lorenzo Morgiani och Johann Petri. — 1491.
  9. ↑ Florian Cajori. En historia av matematiska notationer . — Courier Corporation, 2013-09-26. - S. 260-261. — 865 sid.
  10. ↑ Nicolo Tartaglia . Bok två // General trattato di numeri, et misure. - Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556. - S. 28.
  11. ↑ Graham Flegg. Siffror: Deras historia och betydelse . — Courier Corporation, 2013-05-13. - S. 133. - 307 sid.
  12. ↑ David E. Smith. Matematikens historia . — Kurirbolag, 1958-06-01. - S. 148. - 739 sid.