Omvänd konverteringsmetod

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 april 2019; kontroller kräver 4 redigeringar .

Den inversa transformationsmetoden ( N. V. Smirnovs transformation ) är en metod för att generera slumpvariabler med en given fördelningsfunktion genom att modifiera driften av en generator av likformigt fördelade tal.

Beskrivning av algoritmen

Låta vara en godtycklig distribution funktion . Låt oss visa hur man, med en sampelgenerator från den vanliga kontinuerliga enhetliga distributionen , får ett urval från fördelningen som ges av distributionsfunktionen . $F(x)$ $F(x)$

Strikt ökande distributionsfunktion

Om en funktion strikt ökar över hela definitionsdomänen är den bijektiv och har därför en invers funktion . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$ $F^{-1}:[0,1]\to \mathbb {R}$

Låt vara ett prov från en standard kontinuerlig enhetlig fördelning. $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]$
Sedan , där , är ett urval från fördelningen av intresse för oss. $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}=F^{-1}(U_{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Exempel

Låt det krävas att generera ett sampel från exponentialfördelningen med parametern . Funktionen av denna fördelning ökar strikt, och dess inversa funktion har formen . Således, om är ett prov från en standard kontinuerlig enhetlig fördelning, då , var $\lambda>0$ ${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x))$ $F^{-1}(x)=-{\frac {1}{\lambda }}\,\ln(1-x)$ $U_{1},\ldots ,U_{n}$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$

X_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U_{i}),\;i=1,\ldots ,n

är det önskade urvalet från exponentialfördelningen.

Icke-minskande distributionsfunktion

Om en funktion bara inte minskar, kanske dess inversa funktion inte existerar. I det här fallet är det nödvändigt att modifiera ovanstående algoritm . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$

Låt vara ett prov från en standard kontinuerlig enhetlig fördelning. $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]$
Sedan , där , är ett urval från fördelningen av intresse för oss. Det faktum att den exakta nedre gränsen är lika med minimumen är uppfylld på grund av kontinuiteten i fördelningsfunktionen till höger, vilket innebär att den exakta nedre gränsen nås. $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}=\inf\{x\mid F(x)=U_{i}\}=\min\{x\mid F(x)=U_{i}\},\;i= 1,\ldots ,n$

Anteckningar

Om strikt ökar, då . Således inkluderar den modifierade algoritmen för en godtycklig distributionsfunktion ett separat analyserat fall av en strikt ökande distributionsfunktion. $F(x)$ ${\displaystyle F^{-1}(u)=\inf\{x\mid F(x)=u\))$
Trots den uppenbara universaliteten har denna algoritm allvarliga praktiska begränsningar. Även om fördelningsfunktionen är strikt ökande är det inte alltid lätt att beräkna dess invers, särskilt om den inte ges som en elementär funktion , som till exempel i fallet med en normalfördelning . När det gäller en allmän fördelningsfunktion är det oftast nödvändigt att hitta den exakta nedre gränsen numeriskt , vilket kan vara mycket tidskrävande.

Matematisk motivering

Låt , det vill säga . Betrakta fördelningsfunktionen för en slumpvariabel . $U\sim U[0,1]$ $F_{U}(u)=u,\;u\in [0,1]$ $X=\inf\{x\mid F(x)=U\}$

\mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (\inf\{x'\mid F(x')=U\}\leq x)=\mathbb {P} (U \leq F(x))=F_{U}(F(x))=F(x)

Det vill säga att den har en distributionsfunktion . $X$ $F(x)$

Se även

Litteratur

Vadzinsky R.N. Handbok för sannolikhetsfördelningar. - St. Petersburg: Nauka, 2001, 295 sid.