Bröstmått

Tits- måttet är ett mått av en viss typ på Hadamard-rymden absolut . Uppkallad efter Jacques Tits .

Byggnad

Låt vara Hadamard-utrymmet. Beteckna med dess absoluta, det vill säga uppsättningen av strålar som utgår från en punkt . $X$ $\partial _{\infty }X$ $sid$

För två strålar och från , definieras vinkeln som gränsen för jämförelsevinkeln i en triangel vid , det vill säga vinkeln i en platt triangel med samma sidor som y i spetsen av motsvarande . $\alfa$ $\beta$ $\partial _{\infty }X$ $\measuredangle _{\infty }(\alpha ,\beta )$ $[p\,\alpha (t)\,\beta (t)]$ $t\to \infty$ $[p\,\alpha (t)\,\beta (t)]$ $sid$

Angle definierar ett så kallat vinkelmått på , med värden i intervallet . ${\displaystyle \measuredangle _{\infty ))$ $\partial _{\infty }X$ $[0,\pi ]$

Det inneboende måttet som associeras med kallas bröstmåttet; det tar värden i intervallet . ${\displaystyle \measuredangle _{\infty ))$ $[0,\infty ]$

Anteckningar

Tietz-måttet sammanfaller med vinkelmåttet på par av punkter med ett avstånd mindre än $\pi$
Måttet beror inte på valet av punkten . $sid$
Det absoluta kan också definieras som rymdfaktorn för alla strålar i parallellism , det vill säga ekvivalensrelationen på strålarna definierad som om avstånden är begränsade till alla värden på . $\partial _{\infty }X$ $X$ $\alpha \parallel \beta$ ${\displaystyle |\alpha (t)-\beta (t)|_{X))$ $t$

Exempel

För ett euklidiskt utrymme är en abolit med tits-måttet isometrisk till enhetssfären.
För Lobachevsky-utrymmet är tits-måttet diskret, avstånden mellan olika punkter är . $\infty$

Egenskaper

Ett absolut med en Tits-mått är ett CAT(1)-mellanslag . $\partial _{\infty }X$
Produktens absoluta värde för två Hadamard-mellanrum med tits-måttet är isometrisk till den sfäriska sammanfogningen av motsvarande absoluter med tits-måttet. $\partial _{\infty }(X\ gånger Y)$ $(\partial _{\infty }X)\star (\partial _{\infty }Y)$