Erard polynom

Herard-polynomet för en given polyeder i ett flerdimensionellt utrymme är ett polynom vars värde vid vilken heltalspunkt som helst sammanfaller med antalet heltalspunkter i rymden (allmänt sett, punkter i vilket gitter som helst ) som finns inuti den givna polyedern, ökat med en faktor på . $t>0$ $t$

Volymen på själva polyedern (med homotetkoefficienten ) är lika med den ledande koefficienten för Erard-polynomet, vilket kan betraktas som en variant av den flerdimensionella generaliseringen av Picks sats . $k=1$

Uppkallad efter Eugène Herard , som studerade dem på 1960-talet.

Definition

Låta vara en polyeder med heltals hörn, och vara dess homothety med heltal koefficient . Beteckna med antalet heltalspunkter i . Det kan bevisas att ett tal uttrycks som ett polynom i ; detta polynom kallas Erard-polynomet . $P$ $t\cdot P$ $t$ $L_{P}(t)$ $t\cdot P$ $L_{P}(t)$ $t$

Exempel

${\displaystyle L_{Q}(t)=(t+1)^{d))$ för en enda heltalsdimensionell kub . $d$ $F$

Egenskaper

(Erard-McDonald reciprocity) Antalet inre heltalspunkter i är lika med $t\cdot P$ $(-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),$

där d är dimensionen av P .

Varje värdering på heltalspolytoper som är invariant under heltalsskift och uttrycks som en linjär kombination av koefficienterna för Herard-polynomet. [ett] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

För varje dimensionell polytop har de tre koefficienterna för Herard-polynomet en enkel tolkning $d$ $P$
- den fria termen för Erard-polynomet är 1.
- Huvudkoefficienten vid är lika med volymen av polyedern. $t^{d}$
- Koefficienten vid är lika med halva summan av förhållandena mellan ytornas ytor till determinanten för gittret som erhålls genom skärningen av heltalspunkter med fortsättningen av ytan. $t^{d-1}$
I synnerhet, för , är Erard-polynomet för polygonen lika med $d=2$ $S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,$

var är arean av polygonen och är antalet heltalspunkter på dess gräns. Genom att ersätta får vi Peak-formeln .

S

\Gamma

t=1

Anteckningar

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Matematik. 358, 202-208.

Länkar

Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
G. A. Merzon. Algebra, geometri och analys av summor av potenser av successiva tal // Samling " Matematisk utbildning ". Tredje serien. - 2017. - Utgåva. 21. - S. 104-118.