Många Vitali
Vitali-mängden är det första exemplet på en uppsättning reella tal som inte har Lebesgue-mått . Detta exempel, som har blivit en klassiker, beskrevs av den italienske matematikern Giuseppe Vitali 1905. [ett]
Historik
Ett år före Vitalis artikel, 1904, publicerade Henri Lebesgue föreläsningar om integration och att hitta primitiva funktioner, där han beskrev sin måttteori och uttryckte förhoppningen att den skulle vara tillämplig på alla begränsade reella tal. Upptäckten av Vitali-uppsättningen visade att detta hopp inte var berättigat. Därefter upptäcktes andra motexempel , men deras konstruktion är alltid i huvudsak baserad på valets axiom .
Byggnad
Betrakta följande ekvivalensrelation på intervallet : om skillnaden är rationell . Som vanligt bryter denna ekvivalensrelation intervallet i ekvivalensklasser, som var och en har en räknebar kardinalitet, men deras antal har en kontinuumkardinalitet . Vidare, från varje ekvivalensklass väljer vi en representant - en punkt (här använder vi valets axiom ). Då blir den resulterande uppsättningen representanter omätbar.
![[0,\;1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2421e6dd8ecf6af6a9a44ebe41ff776dcf98d68e)
Faktum är att om vi flyttar ett räknebart antal gånger med alla rationella tal från intervallet , kommer unionen att innehålla hela segmentet , men samtidigt kommer det att finnas i segmentet . I det här fallet kommer de "skiftade kopiorna" av uppsättningen inte att skära varandra, vilket direkt följer av konstruktionen av och .
![[-1,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971caee396752d8bf56711f55d2c3b1207d4a236)
![{\displaystyle [-1,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5b328607efcb680d283c480e4845d34b684636)
Anta att det är Lebesgue-mätbart , då är 2 alternativ möjliga.
- Måttet E är lika med noll. Då kommer måttet på intervallet , som en räknebar förening av uppsättningar av måtten noll, också att vara lika med noll.
- Måttet E är större än noll. Sedan drar vi på liknande sätt slutsatsen att måttet på intervallet , på grund av Lebesguemåttets räknebara additivitet, kommer att vara oändligt.
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
I båda fallen uppstår en motsägelse. Således är Vitali-setet inte Lebesgue-mätbart.
Anteckningar
- ↑ Vitali, Giuseppe . Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta (italienska) // Bologna, Tip. Gamberini och Parmeggiani: dagbok. — 1905.
Litteratur
- Brylevskaya L. I. Om måttproblemets historia under första hälften av 1900-talet // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1986. - Nr 30 . - S. 97-112 .
- Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. — M. : LKI, 2007. — 258 sid. — ISBN 978-5-382-00046-6 . .
- Yashchenko IV Paradoxer i teorin om mängder. Serien "Library" Mathematical Education "", nummer 20, 2002. ISBN 5-94057-003-8