Plummer modell

Plummer-modellen , även Plummer-sfären ( eng. Plummer-modell , eng. Plummer-sfär ) är lagen om täthetsfördelning, som först tillämpades av G. Plummer i studiet av klotformiga hopar [1] . Den används ofta som en förenklad modell inom ramen för modellering i N-kroppsproblemet .

Modellbeskrivning

Den tredimensionella densitetsprofilen i Plummer-modellen har formen

\rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a ^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},

där är den totala massan av det simulerade objektet, a är den så kallade Plummer-radien , en skalparameter som anger den karakteristiska storleken på systemkärnan. Motsvarande potential har formen $M_{0}$

\Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},

där G betecknar gravitationskonstanten . Hastighetsspridningen är

\sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2))))}.

Fördelningsfunktionen har formen

f({\vec {x)),{\vec {v)))={\frac {24{\sqrt {2))}{7\pi ^{3))}{\frac {Na ^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},

om , och annars. Den visar energin per massenhet. $E<0$ $f({\vec {x)),{\vec {v)))=0$ $E({\vec {x)),{\vec {v)))={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)$

Egenskaper

Massa inom en sfär med radie : $r$

M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.

Många egenskaper hos Plummer-modellen beskrivs i en artikel av Herwig Deyonge [2] .

Kärnradien , vid vilken densiteten sjunker till halva värdet i mitten, är . $r_{c}$ $r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a$

Radien som innehåller hälften av massan $r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.$

Virialradien är . $r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a$

Den tvådimensionella ytdensiteten är

$\Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^ {2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2))}={\frac {M_{0}a ^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}}$ ,

därav den tvådimensionella massfördelningsprofilen:

$M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a ^{2}+R^{2}}}$ .

Inom astronomi kan det också vara nödvändigt att bestämma radien inom vilken halva massan finns i en tvådimensionell fördelning . $M(R_{1/2})=M_{0}/2$

För Plummer-modellen . $R_{1/2}=a$

Vändpunkterna för partikelbanan längs radien kännetecknas av specifik energi och specifik rörelsemängd , motsvarande värden på avstånden kan hittas som rötterna till den kubiska ekvationen $E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)$ $L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|$

R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2 }\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,

var alltså . Denna ekvation har tre reella rötter : två positiva och en negativ, vid , där är den specifika rörelsemängden för en cirkulär bana med samma energi. kan beräknas från en enda reell rot av diskriminanten i en kubikekvation, som i sig är en kubikekvation ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2))))$ ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2))))$ $R$ $L<L_{c}(E)$ $L_{c}(E)$ $L_c$

{\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}} ^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{ \underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{ \underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,

där de understrukna parametrarna är dimensionslösa i Henon-enheter, definierade som , och . ${\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})$ ${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V))))$ ${\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16$

Applikationer

Plummer-modellen gör det möjligt att representera de observerade täthetsprofilerna för stjärnhopar, även om den snabba minskningen av tätheten på stora avstånd ( ) inte är lämplig för dessa ändamål. $\rho \rightarrow r^{-5}$

Densitetens beteende nära systemets mitt motsvarar inte de observerade egenskaperna hos elliptiska galaxer, där tätheten ökar kraftigare mot mitten.

Lättheten med vilken Plummer-modellen kan appliceras på Monte Carlo-metoden har gjort Plummer-modellen mycket populär inom N-kroppsmodellering, trots modellens brist på realism [3] .

Anteckningar

↑ Plummer, H.C. (1911), Om problemet med distribution i globulära stjärnhopar Arkiverad 26 juni 2019 på Wayback Machine , mån. Inte. R. Astron. soc. 71 , 460.
↑ Dejonghe, H. (1987), En helt analytisk familj av anisotropa Plummer-modeller Arkiverad 26 juni 2019 på Wayback Machine . mån. Inte. R. Astron. soc. 224 , 13.
↑ Aarseth, SJ, Henon, M. och Wielen, R. (1974), En jämförelse av numeriska metoder för studiet av stjärnhopens dynamik. Arkiverad 19 april 2020 på Wayback Machine Astronomy and Astrophysics 37 183 .