Moment av en slumpvariabel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 februari 2020; kontroller kräver 19 redigeringar .

Momentet för en stokastisk variabel är en numerisk egenskap för fördelningen av en given stokastisk variabel .

Begreppets ursprung

Moment i matematik är en direkt analogi med begreppet moment i fysik och mekanik. I matematik är momenten för en funktion kvantitativa mätningar relaterade till formen på grafen för en funktion. Till exempel, om funktionen är en sannolikhetsfördelning , då är det första momentet det förväntade värdet , det andra centrala momentet är variansen , det tredje standardiserade momentet är skevheten och det fjärde standardiserade momentet är kurtosen . Om funktionen beskriver masstätheten, då är nollmomentet den totala massan, det första momentet (normaliserat till den totala massan) är masscentrumet och det andra momentet är tröghetsmomentet .

Definitioner

Om en slumpvariabel definierad på något sannolikhetsutrymme ges , då: $\displaystyleX,$

$\displaystyle k$ -th initial moment of the slumpvariabel där är variabeln $\displaystyleX,$ $k\in {\mathbb {N}),$

\nu _{k}=\mathbb {M} \left[X^{k}\right],

om den matematiska förväntningen på den högra sidan av denna jämlikhet definieras;

\mathbb {M} [*]

$\displaystyle k$ -:e centrala momentet av en slumpvariabel kallas värdet $\displaystyle X$

\mu _{k}=\mathbb {M} \left[(X-\mathbb {M} X)^{k}\right],

$\displaystyle k$ De -e absoluta och -e centrala absoluta momenten för en stokastisk variabel kallas respektive storheterna $\displaystyle k$ $\displaystyle X$

\nu _{k}=\mathbb {M} \left[|X|^{k}\right]

och

\mu _{k}=\mathbb {M} \left[|X-\mathbb {M} X|^{k}\right],

$\displaystyle k$ -Faktoriella momentet för en slumpvariabel är kvantiteten $\displaystyle X$

\mu _{k}=\mathbb {M} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],

om den matematiska förväntningen på den högra sidan av denna jämlikhet definieras. [ett]

Absoluta moment kan definieras inte bara för heltal, utan även för alla positiva reella tal om motsvarande integraler konvergerar. $k$

Anteckningar

Om moment av den e ordningen är definierade, definieras också alla moment av lägre ordning $\displaystyle k$ $1\leqslant k'<k.$
På grund av den matematiska förväntans linjäritet kan de centrala momenten uttryckas i termer av de initiala: $\mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}\nu _{ks}\nu _ {1}^{s}}$ .

Geometrisk betydelse för vissa ögonblick

$\displaystyle \mu _{2}$ är lika med fördelningens varians och visar fördelningen av fördelningen runt medelvärdet. $\displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})$
$\displaystyle \mu _{3}$ , som är lämpligt normaliserad, är en numerisk egenskap för fördelningens symmetri . Mer exakt uttrycket

{\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}

kallas skevhetsfaktorn .

$\displaystyle \mu _{4}$ visar hur tung fördelningen har svansar. Värde

\gamma _{2}={\frac {\mu _{4)){\sigma ^{4))}-3

kallas kurtosiskoefficienten för fördelningen

\displaystyle X.

Beräkning av moment

Moment kan beräknas direkt genom definitionen genom att integrera lämpliga potenser av den slumpmässiga variabeln. I synnerhet för en absolut kontinuerlig fördelning med densitet har vi: $\displaystyle f(x)$

\nu _{k}=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}x^{k}\,f(x)\,dx,

om $\nu _{k}=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty },$

och för en diskret fördelning med en sannolikhetsfunktion

\displaystyle p(x):

\nu _{k}=\summa \limits _{{x}}x^{k}\,p(x),

om $\nu _{k}=\summa \limits _{{x}}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.$

Momenten för en slumpvariabel kan också beräknas genom dess karakteristiska funktion : $\displaystyle \phi (t)$

\nu _{k}=\left.i^{-k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\phi (t)\right\vert _{t= 0}.

Om fördelningen är sådan att en genererande funktion av moment definieras för den i någon omgivning av noll, kan momenten beräknas med hjälp av följande formel: $\displaystyle M(t),$

\nu _{k}=\vänster.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M(t)\right\vert _{{t=0}}.

Generaliseringar

Du kan också överväga icke-heltalsvärden . Det ögonblick som betraktas som en funktion av argumentet kallas Mellin-transformen . $k$ $k$

Vi kan betrakta momenten för en flerdimensionell slumpvariabel. Då kommer det första momentet att vara en vektor av samma dimension, det andra - en tensor av den andra rangen (se kovariansmatris ) över ett utrymme av samma dimension (även om man också kan betrakta spåret av denna matris, vilket ger en skalär generalisering av variansen). Etc.

Se även

bild ögonblick

Anteckningar

↑ G. Kramer. Matematiska metoder för statistik. - 2:a uppl. - M . : Mir, 1975. - S. 196-197, 284. - 648 sid.