Icke-linjär Schrödinger-ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 februari 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

Den olinjära, eller kubiska, Schrödinger-ekvationen ( NLS ) är en andra ordningens olinjära partiella differentialekvation som spelar en viktig roll i teorin om olinjära vågor , i synnerhet i olinjär optik och plasmafysik .

Ekvationen ser ut så här: [1]

i{\frac {\partial u}{\partial t))+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+\nu |u|^{2}u= 0

var är en komplext värderad funktion . $u(x, t)$

Betydelse i fysik

Den olinjära Schrödinger-ekvationen beskriver enveloppen av ett vågpaket i ett medium med dispersion och kubisk olinjäritet . En liknande situation inträffar t.ex. vid utbredning av elektromagnetiska vågor i ett plasma : å ena sidan är plasma ett dispersivt medium ; å andra sidan, vid tillräckligt höga vågamplituder, uppträder ponderomotiv olinjäritet , som i vissa fall kan approximeras med en kubisk term. Ett annat exempel är utbredningen av ljus i olinjära kristaller med dispersion : i många fall är den kvadratiska olinjäriteten liten eller identiskt noll på grund av kristallgittrets centrala symmetri , så endast den kubiska termen tas med i beräkningen.

Beslut

För den olinjära Schrödinger-ekvationen har ett stort antal exakta lösningar hittats, vilka är stationära olinjära vågor. I synnerhet är lösningarna funktioner av formen

u(x,t)=\exp \left\{irx-ist\right\}v(x-Ut)

där r , s , U är konstanter relaterade av relationer:

r={\frac {U}{2}}\qquad s={\frac {U^{2}}{4}}-\alpha

och funktionen uppfyller en vanlig differentialekvation av formen $v(q)$

{\frac {d^{2}v}{dq^{2}}}-\alpha v+\nu v^{3}=0

var . Periodiska lösningar på denna ekvation är i form av knoidala vågor . Dessutom finns det en lokaliserad lösning av typen soliton : $\alpha =r^{2}-s$

v={\frac {\sqrt {2\alpha /\nu }}{\operatörsnamn {ch} \left[{\sqrt {\alpha }}\left(x-Ut\right)\right]} }

Således bestämmer parametern vågornas amplitud och parametern U bestämmer deras hastighet . Det är intressant att solitonlösningarna för den olinjära ekvationen kvalitativt sammanfaller med solitonlösningarna för en annan viktig olinjär ekvation, Korteweg-de Vries (KdV) ekvationen, men skiljer sig för det första genom att amplituden och hastigheten hos solitonerna är oberoende i NSE , medan de i KdV är relaterade sinsemellan, och för det andra av det faktum att i NLS är de lokaliserade lösningarna envelope-solitoner, medan de i KdV är sanna solitoner. $\alfa$

Solitonlösningar är av särskild betydelse, eftersom vid , de stationära lösningarna i den olinjära Schrödinger-ekvationen är instabila och bryts upp i många solitoner. Givet en godtycklig initial fördelning av funktionen, kan lösningen hittas med metoden för det inversa spridningsproblemet . $\nu>0$ $u(x, t)$

Integraler

Den olinjära Schrödinger-ekvationen är helt integrerbar och har en obegränsad uppsättning rörelseintegraler . Följande integraler är exempel:

I_{1}=\int |u|^{2}dx

I_{2}=\int {\frac {i}{2}}\left(\overline {u}{\frac {\partial u}{\partial x}}-u{\frac {\partial \overline { u}}{\partial x}}\right)dx

I_{3}=\int \left(\left|{\frac {\partial u}{\partial x))\right|^{2}+\kappa |u|^{4}\right)dx

där överstången betyder att man tar det komplexa konjugatet .

Litteratur

Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P. Integrerbara system. I. - Dynamic Systems - 4, Itogi Nauki i Tekhniki. - M. : VINITI, 1985. - T. 4. - S. 179-284. - (Matematikens moderna problem. Grundläggande riktningar).
Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitaevsky L.P. Teorin om solitoner: den omvända problemmetoden. - 1980. - 319 sid.
Icke-linjär Schrödinger-ekvation - Encyclopedia of Physics- artikel

Anteckningar

↑ J. Whitham. Linjära och icke-linjära vågor . - Mir, 1977. - S. 574-578. — 622 sid.