Biskop-Gromov ojämlikhet

Biskop-Gromov-ojämlikheten är en jämförelsesats i Riemannsk geometri . Det är nyckelpåståendet i beviset för Gromovs kompakthetsteorem [1] .

Ojämlikheten är uppkallad efter Richard Bishop och Mikhail Gromov .

Formulering

Låt vara en komplett n -dimensionell Riemann-grenrör med Ricci-krökning avgränsad nedanför , dvs. $M$

\mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K

för konstant . $K\in \mathbb {R}$

Beteckna med en kula med radie r runt en punkt p , definierad med avseende på den riemannska avståndsfunktionen . ${\displaystyle B(p,r)_{M))$

Låt beteckna det n -dimensionella modellutrymmet. Det vill säga ett komplett n - dimensionellt enkelt sammankopplat utrymme med konstant tvärsnittskrökning . På det här sättet, $\mathbb {M} ^{n}(K)$ $\mathbb {M} ^{n}(K)$ $K$

$\mathbb {M} ^{n}(K)$ är en n - sfär med radie om , eller $1/{\sqrt {K}}$ $K>0$
n - dimensionellt euklidiskt utrymme om , eller $K=0$
Lobachevsky utrymme med krökning . $K<0$

Sedan för någon och funktionen $p\in M$ ${\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)$

\phi (r)={\frac {\operatörsnamn {Vol} B(p,r)_{M)){\operatörsnamn {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\ mathbb {M} ^{n}(K)}}}

ökar inte i intervallet . $(0,\infty )$

Anteckningar

För , ojämlikheten kan skrivas på följande sätt $K=0$ ${\displaystyle \operatorname {Vol} B(p,\lambda \cdot r)_{M}\leqslant \lambda ^{n}\cdot \operatorname {Vol} B(p,r)_{M))$

kl .

\lambda \geqslant 1

Om r tenderar till noll, så närmar sig förhållandet ett, så tillsammans med monotoni betyder det att $\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}\leqslant \operatorname {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\mathbb {M} ^{n}(K )}.$

Denna version bevisades först av biskop [2] [3] .

Se även

Myers teorem

Anteckningar

↑ Yu. D. Burago , V. A. Zalgaller , Introduction to Riemannian geometry 1991, sid. 320, (22,5)
↑ Bishop, R. Ett samband mellan volym, medelkurvatur och diameter. amer. Matematik. soc. Inte. 10 (1963), sid. 364.
↑ Biskop RL, Crittenden RJ Geometry of manifolds, Corollary 4, sid. 256