Normal spelform

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

I spelteorin består ett spel i normal eller strategisk form ( engelska normalform ) av tre element: en uppsättning spelare, en uppsättning rena strategier för varje spelare och en uppsättning payoff-funktioner för varje spelare. Således kan spelet i normal form representeras som en n-dimensionell matris (tabell), vars element är n-dimensionella utdelningsvektorer. Denna tabell kallas payoff matrisen .

Formell definition

Ett spel i normal form kallas en trippel , där $G=\left\langle P,\mathbf {S} ,\mathbf {F} \right\rangle$

P=\{1,2,\ldots ,m\}

- många spelare

{\displaystyle \mathbf {S} =\{S_{1},S_{2},\ldots ,S_{m}\))

är uppsättningen av rena strategier för varje spelare,

{\displaystyle \mathbf {F} =\{F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m}\))

- många betalningsfunktioner för varje spelare.

Varje spelare har en begränsad uppsättning rena strategier och en hjälpfunktion (utbetalningsfunktion) . $i\in P$ $S_{i}=\{1,2,\ldots ,n_{i}\}$ $F_{i}:S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{m}\rightarrow \mathbb {R}$

Resultatet av spelet är en kombination av varje spelares rena strategier:

{\vec {s}}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{m})

var . ${\displaystyle s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2},\ldots ,s_{m}\in S_{m))$

Två spelare/två strategier

	Spelare 2 L	Spelare 2R
Spelare 1 U	4 , 3	-1 , -1
Spelare 1D	0 , 0	3 , 4
Normal form för ett spel med 2 spelare, var och en med 2 strategier.

Fallet med två spelare - två rena strategier visas på bordet. Den första spelarens rena strategier är U och D. Den andra spelarens rena strategier är L och R. Om den första spelaren väljer U och den andra spelaren (samtidigt) väljer L, är motsvarande utdelning 4 och 3 (det första elementet i vektorn (4, 3) anger betalningen av den första spelaren, och den andra - betalningen av den andra spelaren om strategierna U och L valdes). Det vill säga, för att hitta fördelningen av betalningar som motsvarar varje uppsättning av spelade strategier behöver du bara hitta vektorn som ligger i skärningspunkten mellan motsvarande rader och kolumner i tabellen (raderna motsvarar strategierna för den första spelaren, och kolumnerna motsvarar den andra spelarens strategier). Kombinationen av spelade strategier kallas resultatet av spelet. I det här exemplet är resultatet av spelet (U, L). Alla möjliga resultat för detta spel: {(U, L), (U, R), (D, L), (D, R)}. Uppenbarligen motsvarar varje cell i tabellen ett av de möjliga resultaten.

Verktygsfunktion

I det allmänna fallet antas det att spelaren har preferenser på uppsättningen av resultat. Det vill säga för varje spelare ges binära relationer mellan elementen i denna uppsättning. Detta innebär att spelaren kan jämföra vilka två resultat som helst: spelaren föredrar antingen ett av de två resultaten eller förblir likgiltig mellan båda resultaten. Under vissa ytterligare antaganden om spelarens preferenser kan det visas att det finns en Neumann-Mongenstern-hjälpfunktion som representerar nyttan av varje resultat som ett reellt tal u(s), och om u(s)≥u(s') < => spelaren föredrar (eller är likgiltig inför ) resultat s utfall s'. I vårt exempel föredrar den första spelaren resultatet (U, L) framför resultatet (D, R) eftersom 4>3.

Spel med fullständig/ofullständig information

I spel med fullständig information är beskrivningen av spelet känd för alla spelare (alla spelare känner till alla andra spelares rena strategier och nyttofunktioner). I spel med ofullständig information kanske vissa spelare inte känner till andra spelares hjälpfunktioner (det vill säga inte känner till några specifika värden för bordets celler från vårt exempel).

Alla spel i omfattande form kan representeras av ett spel i normal form (inte nödvändigtvis likvärdigt). Den normala formrepresentationen av spelet kan användas för att hitta dominerade strategier.

Se även

Utökad form av spelet

Litteratur

Vasin A. A. , Morozov V. V. Spelteori och modeller för matematisk ekonomi. - M. : Max-press, 2005. - 272 sid. — ISBN 5-317-01388-7 .
Danilov V. I. Föreläsningar om spelteori . - M.: NES, 2002. - 140 sid. : sjuk. ISBN 5-8211-0193-X
Petrosyan L.A. , Zenkevich N.A., Semina E.A. Spelteori: Lärobok för universitet. - M . : Högre. Skola, Bokhuset "Universitetet", 1998. - S. 304. - ISBN 5-06-001005-8 , 5-8013-0007-4.