Nyttofunktion

En hjälpfunktion är en funktion som kan användas för att representera konsumentpreferenser på en uppsättning giltiga alternativ [1] . Funktionens numeriska värden hjälper till att beställa alternativen efter graden av preferens för konsumenten. Ett större värde motsvarar en högre preferens. I modern ordinal nyttoteori spelar siffrorna i sig ingen roll - bara sambanden större än, mindre än och lika med är viktiga.

Inte varje preferensrelation kan representeras av en hjälpfunktion. Men för de preferenser som används i ekonomiska modeller finns en sådan funktion. Förekomsten av en funktion gör det möjligt att använda matematisk analys för att lösa optimeringsproblem inom ekonomi. Till exempel när man löser problemet med konsumenten [2] . Utan att använda verktygsfunktionen blir lösningen av ett sådant problem svår.

Formell definition

Låt en uppsättning tillåtna alternativ ges , på vilka preferensrelationen definieras . Då kallas en funktion med verkligt värde en hjälpfunktion om villkoret [3] är uppfyllt : $X$ ${\displaystyle \{\succeq \))$ $u:X\to \mathbb {R}$

$x\succsim y\iff u(x)\geq u(y),\quad x,y\in X$

Ett större värde på en nyttofunktion innebär en större önskvärdhet av alternativet sett till den preferens som denna funktion representerar. Ur en matematisk synvinkel är en hjälpfunktion ett sätt att rangordna skalär .

Kardinalism och ordinalism

Modern mikroekonomi bygger på ett ordinalistiskt förhållningssätt för att modellera konsumenternas beteende och val. I enlighet med det spelar de numeriska värdena för hjälpfunktionen ingen roll, bara ordningen "större-mindre" är viktig. Om värdet på nyttofunktionen för ett av alternativen är högre så är detta alternativ mer att föredra för konsumenten. I det här fallet innehåller skillnaden mellan värden eller kvoten från deras division ingen information [4] . Motsatsen är kardinalmetoden , när man använder vilka numeriska värden, tvärtom, bär information om användbarhet. Det kardinala tillvägagångssättet antar implicit att det finns en standard för användbarhet, det vill säga en universell enhet med vilken jämförelser kan göras. Det är denna förståelse av nytta som användes av skaparen av utilitarismens filosofi, Jeremy Bentham [5] .

Moderna ekonomer utgår från det faktum att begreppet nytta är subjektivt, så deras direkta jämförelse är omöjlig. Därför används begreppet Pareto-effektivitet för att bedöma konsumenternas gemensamma välfärd . Ett undantag är kvasilinjära preferenser . De antar att det finns en räknebar vara ( engelska numeraire ), som är en analog av pengar. Då blir summering och andra verktygsoperationer möjliga.

Villkor för att det finns en hjälpfunktion

För att preferenser ska representeras som en nyttofunktion är det nödvändigt att preferensen i sig är rationell , det vill säga den måste uppfylla axiomen för fullständighet och transitivitet.

Tillräckliga villkor beror på själva uppsättningen av tillåtna alternativ och på egenskaperna hos preferenser. Om mängden är finit eller räkningsbar och preferensrelationen är rationell, så finns det en hjälpfunktion som representerar dessa preferenser. $X$ $X$

Om uppsättningen är oräknelig , måste vi dessutom kräva kontinuitet i preferenser . I det här fallet garanterar Debres teorem att det finns en hjälpfunktion. I det här fallet är verktygsfunktionen kontinuerlig. Kontinuitet är en nödvändig förutsättning för att det ska finnas en nyttofunktion som representerar en rationell preferens, men det är inte tillräckligt. Så till exempel representerar en hjälpfunktion (heltalsdelen av ett tal) inställningar som inte är kontinuerliga. Själva funktionen är också diskontinuerlig. $X$ $u(x)=\lbrack x\rbrack ,\,x\in \mathbb {R}$

Ofta ställs ytterligare villkor på preferenser för att få funktioner med vissa egenskaper. Således kan man kräva monotoni , lokal omättnad och konvexitet . Dessa preferensegenskaper återspeglas i egenskaperna för hjälpfunktionen. Till exempel leder monotoniteten hos preferenser till monotoniteten hos en funktion, medan preferensernas konvexitet gör funktionen kvasikonkav .

Debres teorem

För alla rationella och kontinuerliga preferenser finns det en kontinuerlig nyttofunktion som representerar dem [2] . $X\subset R^{L}$

Egenskaper för verktygsfunktionen

Låt en strikt ökande funktion ges och låt vara en bruksfunktion. Sedan är funktionssammansättning också en hjälpfunktion som representerar samma preferensrelation . Observera att det inte behöver vara kontinuerligt [6] . $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $u:X\to \mathbb {R}$ $g\circ u(x)$ $\sccsim$ $g$

Om uppsättningen är konvex kommer verktygsfunktionen att vara kvasikonkav . $X$

Om preferenserna uppfyller egenskapen monotonitet (strikt monotoni), kommer funktionen att vara monoton (strikt monoton).

Egenskapen att minska marginalnyttan är en konsekvens av nyttofunktionens konkavitet. Om en funktion är dubbelt differentierbar betyder egenskapen att den andra partiella derivatan av en sådan funktion är negativ.

$MU={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2))}<0$

En indifferenskurva är en linje (yta, hyperyta) av nyttofunktionsnivån.

$u(x)=const$

De viktigaste exemplen på verktygsfunktioner

Konstant elasticitet för substitution

En av de viktigaste verktygsfunktionerna är CES-funktionen . Förkortningen CES står för konstant elasticitet vid substitution av alternativ . Funktionen har följande form för det tvådimensionella fallet.

$u(x,y)={\big (}\alpha x^{\frac {1}{\rho }}+\beta y^{\frac {1}{\rho }}{\big ) }^{\rho }$

Med olika värden på parametern kan du få specialfall av CES-funktionen. $\rho$

Om , då är funktionen linjär och beskriver perfekta substitut för . I detta fall är den marginala substitutionsgraden lika med förhållandet mellan parametrar . $\rho =1$ $MRS_{xy}={\frac {\alpha }{\beta }}$

$u(x,y)=\alpha x+\beta y$

Om , då erhålls Leontief-funktionen, som beskriver perfekta komplement . Marginalsubstitutionsgraden är i detta fall oändlig. $\rho \to -\infty$

${\displaystyle u(x,y)=\min\{\alpha x,\,\beta y\))$

När , Cobb-Douglas-funktionen erhålls om vi ställer ett ytterligare villkor . $\rho \to 0$ $\alfa+\beta = 1$

${\displaystyle u(x,y)=x^{\alpha }y^{\beta ))$

Riskattityd

Viktiga exempel på nyttofunktioner är funktioner med en konstant absolut och relativ indikator på inställningen till risk. En funktion med en konstant absolut riskattitydindikator ( CARA - konstant absolut riskaversion ):

u(x)={\frac {1-e^{-\rho x}}{\rho }}

Det absoluta Arrow-Pratt- måttet för en sådan funktion är: . $\rho$

Funktion med en konstant relativ riskattitydindikator ( CRRA - konstant relativ riskaversion ):

u(x)={\frac {x^{1-\rho }-1}{1-\rho }}

Det relativa Arrow-Pratt-måttet för en sådan funktion är: . $1/\rho$

Stone-Geary verktygsfunktion

Stone-Giri-verktygsfunktionen definieras enligt följande.

u(x_{1},x_{2},...x_{L})=\prod _{i=1}^{L}(x_{i}-\gamma _{i})^ {\beta _{i))

För , förvandlas Stone-Gery-verktygsfunktionen till en allmän Cobb-Douglas-funktion. Stone-Giri-verktygsfunktionen är kärnan i det linjära kostnadssystemet . $\gamma _{i}=0$

Se även

Anteckningar

↑ Busygin et al., 2008 , sid. 39.
↑ 1 2 Jaley, Reni, 2011 , sid. 27.
↑ Jaley, Reni, 2011 , sid. 26.
↑ Varian, 1997 , sid. 74-75.
↑ Jaley, Reni, 2011 , sid. femton.
↑ Varian, 1997 , sid. 74.

Litteratur

Busygin V.P., Zhelobodko E.V., Tsyplakov A.A. Mikroekonomi: den tredje nivån: i 2 volymer . - Novosibirsk: Förlag för den sibiriska grenen av den ryska vetenskapsakademin, 2008. - T. 1. - 525 sid. - ISBN 978-5-7692-0976-5 . (ryska)
Varian Hal R. Mikroekonomi. Mellannivå. Modernt förhållningssätt. Lärobok för universitet . - UNITI, 1997. - 768 sid. — ISBN 5-85173-072-2 . (ryska)
Jeffrey A. Jaley, Philip J. Renee. Mikroekonomi: en avancerad nivå . — National Research University Higher School of Economics, 2011. — 384 sid. - ISBN 978-5-7598-0362-1 . (ryska)
Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Mikroekonomisk teori (engelska) . - Oxford University Press, 1995. - 1008 sid. — ISBN 978-0195073409 .