Kvasikonvex funktion
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från
versionen som granskades den 19 mars 2017; kontroller kräver
3 redigeringar .
En kvasi-konvex funktion är en generalisering av begreppet en konvex funktion , som har funnit bred tillämpning inom olinjär optimering , i synnerhet när optimering tillämpas på ekonomi .
Definition
Låt X vara en konvex delmängd av . En funktion kallas kvasi-konvex eller unimodal om följande olikhet gäller för godtyckliga element och :
![{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fa4832da4b0b229d77eadb270e95188f2eb10)
![{\displaystyle x,y\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d72f66ab332ed430aa9b34ff18c9723c4fea2a1)
![{\displaystyle \lambda \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010c0ee88963a09590dd07393d288edd83786b91)
Om också:
för och då sägs funktionen vara strikt kvasi-konvex .
![{\displaystyle x\neq y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51b711ca7f932963cdb268b0817dc72d6258733)
![{\displaystyle \lambda \in(0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17279bd1146846540229cfca8a2fd9bed8b8bcb)
En funktion kallas kvasikonkav (strikt kvasikonkav) om den är kvasikonvex (strängt kvasikonvex).
![{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fa4832da4b0b229d77eadb270e95188f2eb10)
![{\displaystyle -f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0edfedee3fca0a26dd6f515e7ed9517a4e2cd04)
På samma sätt är en funktion kvasikonkav if
och strikt kvasi-konkav om
En funktion som är både kvasi-konvex och kvasi-konkav kallas kvasi -linjär .
Exempel
- En godtycklig konvex funktion är kvasikonvex, en godtycklig konkav funktion är kvasikonkav.
- Funktionen är kvasilinjär på uppsättningen av positiva reella tal .
![{\displaystyle f(x)=\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e75b5f02e93730d64d3b72fe9db2e0be096cf3a)
- Funktionen är kvasikonkav på mängden (mängden av par av icke-negativa tal) men är varken konvex eller konkav.
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1564091a126efa137e7faa6c91ac69adcd5553f)
![{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7d986e9e061be94134919a006d0758ee73bff9)
- Funktionen är kvasi-konvex och är varken konvex eller kontinuerlig .
![{\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3b60078378682c77f591f9e387cbea7151dbe8)
Egenskaper
- Funktionen , där är en konvex mängd , är kvasikonvex om och endast om för hela mängden
![{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fa4832da4b0b229d77eadb270e95188f2eb10)
![{\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a6b446fb9736703b3fe09ff010de5ef2e75f38)
![{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a3a2f5bc2d4e8b49a63cdeb8f20706681ed5cf)
konvex
Bevis. Låt mängden vara konvex för vilken β som helst. Vi fixar två godtyckliga punkter och betraktar punkten Points at . Eftersom mängden är konvex, är , och därför, det vill säga, den olikhet som ges i definitionen uppfylld, och funktionen är kvasikonvex.
![{\displaystyle X_{\beta ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36658fcff95d879db60a621991903affe80e810e)
![x_1, x_2\in X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d4c89c2ce9c73010afa018f789e0fcad31c1ad)
![{\displaystyle x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\quad \lambda \in (0,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5521b649327074f06b24a0446a17cc0cac8a7ba)
![{\displaystyle x_{1},x_{2}\in X_{\beta ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7e0aae28a181a473973da8188190f9c3ba8141)
![{\displaystyle \beta =\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33fd8e9ed81ef91719a9ce5653e70a0f13e7e2a)
![{\displaystyle X_{\beta ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36658fcff95d879db60a621991903affe80e810e)
![{\displaystyle \;x\in X_{\beta ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43aadd2dd442dbce87844f45a42d5cc072f98ea2)
![{\displaystyle f(x)\leqslant \beta =max\{f(x_{1}),f(x_{2})\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c38b0240bfc5b4560fea685d9e3839939f27e3d)
Låt funktionen f vara kvasikonvex. För vissa fixar vi godtyckliga punkter Sedan . Eftersom X är en konvex mängd, då för vilken punkt som helst . Av definitionen av kvasi-konvexitet följer att , det vill säga . Otzhe, är en konvex uppsättning.
![{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b33a167a556c5f643b7053261072ccef00c2e6)
![{\displaystyle x_{1},x_{2}\in X_{\beta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42efeb67b0ef6a46906bac264ad8f054f4a0acb9)
![{\displaystyle \max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffc8a4db3d768a4f72a39639e9ea8e9b4bbec36)
![{\displaystyle \lambda \in(0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17279bd1146846540229cfca8a2fd9bed8b8bcb)
![{\displaystyle x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3844a78736394c2ab7142973c4d3f43d7906e1)
![{\displaystyle f(x)\leqslant max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3274ef5ff649980180be01bd58dc010b3b5b4b)
![{\displaystyle x\in X_{\beta ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71104bf83ce7f4a7573f3fbfa99c7b489afab5fc)
- En kontinuerlig funktion , där X är en konvex inställning i , är kvasikonvex om och endast om ett av följande villkor är uppfyllt:
![{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fa4832da4b0b229d77eadb270e95188f2eb10)
![\mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
- f är icke-minskande;
- f - icke-ökande;
- det finns en punkt så att funktionen f för alla är icke-ökande, och för alla är funktionen f icke-minskande.
![{\displaystyle c\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a6fd8987f71d0e8b6f844f05339748989a1267)
![{\displaystyle t\in X,t\leqslant c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642791a3400861c61f2a0d6c5f874f76cac10bd7)
![{\displaystyle t\in X,t\geqslant c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673f86f527dbf659fb7fd451b10fc41101060f75)
Differentiera kvasi-konvexa funktioner
![{\displaystyle f(y)\leqslant f(x)\Rightarrow \left\langle f^{'}(x),yx\right\rangle \leqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539fd084d4811cd95dccd3cfeec94c7a058f129e)
för alla .
- Låt f vara en två gånger differentierbar funktion. Om f är kvasi-konvex på X, är följande villkor uppfyllt:
![{\displaystyle \left\langle f^{'}(x),y\right\rangle =0\Rightarrow \left\langle f^{''}(x)y,y\right\rangle \geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305ab3897892a024e285c29591e646ad2e71d61c)
för alla .
Då är påståendena sanna:
- Om funktionen f är kvasikonvex på en mängd X , då är D n (x) ≤ 0 för alla n och alla x från X .
- Om funktionen f är kvasikonkav på mängden X , då är D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 för alla x med X .
- Om D n (x) ≤ 0 för alla n och alla x med X , då är funktionen f kvasikonvex på mängden X .
- Om D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 för alla x med X , är funktionen f kvasikonkav på mängden X .
Operationer som bevarar kvasi-konvexitet
- Maximum av viktade kvasikonvexa funktioner med icke-negativa vikter, dvs.
![{\displaystyle f=\max \left\lbrace w_{1}f_{1},\ldots ,w_{n}f_{n}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/226ad3661a5c1c636f8b74d9afb5932b982ee021)
var
- en komposition med en icke-minskande funktion (om är kvasi-konvex, är icke-minskande, så är den kvasi-konvex).
![{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd0676a3fc6d7adae5f265a8b398fd3d96cd587)
![{\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7132bad98312911aeb02354f0c9038ffc1704591)
![{\displaystyle f=h\circ g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8bf9ecaafec0e79beaba94302aa824e2c7de682)
- minimering (om f(x, y) är kvasikonvex, C är en konvex mängd, då är den kvasikonvex).
![{\displaystyle h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53c3acd719c4cd7b62f73b0af885fd08de0fff9)
Länkar
Litteratur
- Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, tredje upplagan, McGraw Hill Book Company, 1984.