Generaliserad potential

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 april 2017; kontroller kräver 2 redigeringar .

Generaliserad potential - begreppet klassisk mekanik , som används för bekväm beräkning av generaliserade krafter som beror på generaliserade hastigheter [1] .

Formulering

Betrakta ett mekaniskt system med frihetsgrader, med kinetisk energi och generaliserade krafter . Här överallt . Betrakta uttrycket för den potentiella energin i form av en funktion . Vi kräver att Lagrange-ekvationerna $s$ $T$ ${\displaystyle Q_{m))$ $m=1,2,...,s$ $V=V(q_{1},q_{2},...,q_{s},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2}, ...,{\dot {q}}_{s},t)$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{m}}}=Q_{m}$ ,

såg ut som

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m))}=0$ , där , är den generaliserade potentialen. $L=TV$ $V$

En generaliserad potential är en funktion som uppfyller ekvationen $V$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}=Q_{m}$ ,

Låt oss ta reda på funktionens beroende av de generaliserade hastigheterna. $V$

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\partial V}{\partial q_{m))}=\summa _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q }}_{m}\partial {\dot {q}}_{\mu }}}{\ddot {q}}_{\mu}+\summa _{\mu =1}^{s}{\ frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu}+{\frac { \partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial t}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}$

Eftersom de generaliserade krafterna inte explicit beror på de generaliserade accelerationerna, kan den generaliserade potentialen endast vara en linjär funktion av de generaliserade hastigheterna:

${\displaystyle V=\Pi (q_{m},t)+\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu}(q_{m},t){\dot {q} }_{\mu ))$

Ytterligare:

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\partial V}{\partial q_{m))}={\frac {d\Pi _{m)){dt))-{\frac {\partial }{\partial q_{m))} \left[\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }{\dot {q))_{\mu}+\Pi \right]=\summa _{\mu =1 }^{s}{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _ {m)){\partial t))-\summa _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial \Pi _{\mu )){\partial q_{m))}{\dot {q))_{\mu }-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}+\ summa _{\mu =1}^{s}\left({\frac {\partial \Pi _{m)){\partial q_{\mu ))}-{\frac {\partial \Pi _{\ mu )){\partial q_{m))}\right)+{\frac {\partial \Pi _{m)){\partial t))$ .

På det här sättet:

$Q_{m}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}+\summa _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{ \dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}$ , var ${\displaystyle \gamma _{m\mu }={\frac {\partial \Pi _{m)){\partial q_{\mu ))}-{\frac {\partial \Pi _{\mu )) {\partial q_{m))))$

Om funktionerna inte uttryckligen är beroende av tid, är de generaliserade krafterna uppbyggda av potentiella krafter och gyroskopiska krafter . [2] ${\displaystyle \Pi _{m))$ ${\displaystyle -{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))))$ $\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{\dot {q}}_{\mu }$

Exempel

Betrakta Lorentzkraften som verkar på en punkt elektrisk laddning i ett elektromagnetiskt fält: där är den elektriska laddningen, är laddningshastigheten, är det elektriska fältets styrka, är magnetfältsinduktionen, är ljusets hastighet. Den generaliserade potentialen för Lorentzkraften kan introduceras med formeln: , där är skalärpotentialen , är vektorpotentialen [3] [4] $F=e\left[E+{\frac {v}{c}}\times B\right]$ $e$ $v$ $E$ $B$ $c$ $V=e\phi -{\frac {e}{c}}vA=e\phi -{\frac {e}{c}}\left({\dot {x}}A_{x}+ {\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z}\right)$ $\phi$ $A$

Anteckningar

↑ Butenin, 1971 , sid. 115.
↑ Butenin, 1971 , sid. 117.
↑ Butenin, 1971 , sid. 118.
↑ L. D. Landau E. M. Livshits Field theory, Fizmatgiz, 1962

Litteratur

Butenin N.V. Introduktion till analytisk mekanik. - M. : Nauka, 1971. - 264 sid.