Ömsesidigt nummer

Den reciproka av ett givet tal x är det tal vars multiplikation med x ger ett . Godkänd anmälan: eller . Två tal vars produkt är 1 kallas reciproka . Det reciproka av ett tal ska inte förväxlas med det reciproka för en funktion. Det skiljer sig till exempel från värdet på funktionen invers till cosinus -arccosinus , som betecknas eller . ${\frac {1}x}$ $x^{{-1}}$ ${\frac {1}{\cos {x}}}$ $\cos ^{{-1}}x$ $\arccos x$

Invertera till reellt tal

För alla reella (eller komplexa ) tal annat än noll , finns det ett tal som är dess invers. Den reciproka av ett reellt tal kan ges som en bråkdel eller en potens med exponenten -1 . Men som regel används notation genom bråk.

siffra	Omvänd
siffra	Fraktion	Grad
$n$	${\frac {1}{n}}$	$n^{{-1}}$

Det vill säga . $\ {\frac {1}{n}}=n^{{-1}}$

Exempel
siffra	$3$	${\frac {1}{10))$	$-{\frac {2}{7}}$	$2\pi$	$2$	$-0,125$	$ett$	$\sqrt{3}$	$e^{{{\frac {\pi}{4))))$	$10^{{23}}$
Omvänd	${\frac {1}{3))$	$tio$	$-{\frac {7}{2}}$	${\frac {1}{2\pi ))$	$0,5$	$-åtta$	$ett$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$e^{{-{\frac {\pi}{4))))$	$10^{{-23}}$

Blanda inte ihop termerna "ömsesidigt nummer" och " motstående nummer ". Två tal sägs vara motsatta om deras summa är noll. Till exempel är talet mitt emot 3 −3, och det reciproka är 1/3.

Invertera till noll

I aritmetik, som arbetar med reella (eller komplexa) tal, finns det inget begrepp om oändlighet (det finns inget tal "oändligt"). Därför anses det vara omöjligt att dividera med noll . Så noll har ingen ömsesidighet. Men sedan införandet av gränsövergången (i matematisk analys ) har sådana begrepp som oändligt små och oändligt stora kvantiteter dykt upp som är ömsesidigt inversa.

Genom att använda passagen till gränsen får vi:

Högergräns: _ eller _ $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[ {x{\xrightarrow {}}+0}]{}}\ {+\infty }$
Vänster gräns: _ eller _ $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[ {x{\xrightarrow {}}-0}]{}}\ {-\infty }$

Således är den reciproka av noll, beroende på vilken sida man ska sträva efter, formellt oändlig med tecknet "+" eller "-" . En sådan definition av inversen till noll är dock meningslös - introduktionen förlorar distributionsförmåga, vilket visar sig, särskilt när den inversa kvadratgränsen också är "lik med oändligheten", men när man dividerar den föregående gränsen med denna, ger den svaret 0, inte 1.

$\lim _{{x\to +0}}{\frac {1}{x^{2}}}={+\infty }$

Men $\lim _{{x\to +0}}{\frac {{\frac {1}{x}}}{{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{{ x\to +0}}{\frac {x^{2}}{x}}=0$

Invertera till komplext tal

Inverserna av komplexa tal ser något mer komplicerade ut än inverserna av reella. Det finns tre former av ett komplext tal: algebraiskt , trigonometriskt och exponentiellt .

Komplexa talformer	siffra $(z)$	Omvänd [1] $\left({\frac {1}{z}}\right)$
Algebraisk	$x+iy$	${\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
trigonometrisk	$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$	${\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )$
Demonstration	$re^{{i\varphi }}$	${\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi }}$

Beteckning och bevis

Beteckning

$z\in {\mathbb {C}}$ (komplext tal), (reell del av ett komplext tal), (imaginär del av ett komplext tal), - imaginär enhet , (modul för ett komplext tal), (argument för ett komplext tal), - basen av den naturliga logaritmen .
$x=\operatörsnamn {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\operatörsnamn {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$i$
$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
$\varphi =\operatörsnamn {arg} z=\operatörsnamn {arctg} {\frac {y}{x))$
$e$

Bevis:
För algebraiska och trigonometriska former använder vi den grundläggande egenskapen för en bråkdel , multiplicerar täljaren och nämnaren med det komplexa konjugatet :

Algebraisk form:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)))={\frac { x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^ {2}+y^{2}}}$

Trigonometrisk form:

${\frac {1}{z))={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )))={\frac {1}{r)){\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{(\cos \varphi +i\sin \varphi )(\cos \varphi -i\sin \varphi )))={\frac {1}{r)){\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i \sin \varphi )$

Indikativ form:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{{i\varphi }}}}={\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi }}$

Sålunda, när man hittar inversen av ett komplext tal, är det bekvämare att använda dess exponentiella form.

Exempel:

Komplexa talformer	siffra $(z)$	Omvänd [1] $\left({\frac {1}{z}}\right)$
Algebraisk	$1+i{\sqrt {3}}$	${\frac {1}{4}}-{\frac {{\sqrt {3}}}{4}}i$
trigonometrisk	$2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ eller [2] $2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right)$	${\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi}{3}}\right)$ eller [2] ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right)$
Demonstration	$2e^{{i{\frac {\pi}{3))))$	${\frac {1}{2}}e^{{-i{\frac {\pi }{3))))$

Omvänd till den imaginära enheten

Det finns bara två tal ( komplex konjugat ) vars reciproka och motsatser är lika. Det här är . $\pm jag$

siffra	Likhet mellan invers och motsats
siffra	Att skriva inversen genom en bråkdel	Skriver det omvända genom graden
$i$	${\frac {1}{i}}=-i$	$i^{{-1}}=-i$
$-jag$	$-{\frac {1}{i}}=i$	$-i^{{-1}}=i$

Bevis

Låt oss visa beviset för (för liknande). Vi använder huvudegenskapen för bråket : Således får vi __ eller __ Liknande för : __ __ eller __ $i$ $-jag$

${\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{ -1}}=-i$

${\frac {1}{i}}=-i$ $i^{{-1}}=-i$

$-jag$ $-{\frac {1}{i}}=i$ $-i^{{-1}}=i$

Anteckningar