Allmän relativitetsteori i flerdimensionellt rum

Den allmänna relativitetsteorin i ett flerdimensionellt rum är en generalisering av den allmänna relativitetsteorin till rum-tid med en dimension större än eller mindre än 4. Denna teori ger grunden för den så kallade geometriseringen av interaktioner - ett av två sätt (tillsammans med gauge-metoden) till konstruktionen av en enhetlig fältteori . Den består av olika fysikaliska teorier som försöker generalisera Einsteins relativitetsteori till högre dimensioner. Detta försök till generalisering är starkt påverkat av strängteorin och M-teorin. Den allmänna relativitetsteorin i det flerdimensionella rummet skiljer sig från andra flerdimensionella modeller i den fasta formen av den lagrangiska densiteten som används - i denna teori kan det bara vara skalär krökning .

Matematisk grund

Som bekant innehåller Einsteinsekvationerna för gravitation, erhållna genom variation från Einstein-Hilbert-handlingen , inga interna restriktioner för dimensionen av rymden och dess signatur , och innehåller endast mycket svaga restriktioner för topologin . De förbinder endast lokalt för ett visst utrymme den metriska tensorn , som beskriver de geometriska egenskaperna hos detta utrymme, med energimomentum-tensorn , som beskriver de materiella (icke-gravitationella) fälten som finns i detta utrymme.

Rummets dimension, topologi och signatur måste specificeras ytterligare, vilket gör det enkelt att generalisera den allmänna relativitetsteorin till rum med mer eller mindre dimensioner av både rum och tid. Antalet rumsliga och tidsmässiga dimensioner bestäms av signaturen för den metriska tensorn, eller snarare, av kvantiteterna av dess egenvärden av olika tecken, positiva och negativa. Till exempel, i euklidisk kvantgravitation uppträder endast 4 rumsliga dimensioner utan någon tidsdimension alls.

I en meningsfull teori av denna typ måste det tydligen finnas minst 4 dimensioner i rymden. Faktum är att ett endimensionellt utrymme inte alls kan krökas internt, krökningen av ett tvådimensionellt utrymme bestäms helt av dess skalära krökning, och det för ett tredimensionellt utrymme av Ricci-tensorn, varför, enligt Einsteins ekvationer, utanför den kompakta fördelningen av fält i sådana utrymmen, kommer inga effekter att observeras alls (förutom global topologisk, se kosmisk sträng ). Först med utgångspunkt från det fyrdimensionella rymden uppträder gravitationsfältets långväga verkan - det kan fortplanta sig utanför gränserna för föremålet som gav upphov till det och till och med bilda vågor i det tomma rummet, vilket beror på att beskrivningen krökning, utgående från denna dimension, kräver också kunskap om Weyl-tensorn.

Den högre dimensionen av utrymmet för Einsteins ekvationer är inte begränsad. Därför kan man betrakta Einsteins ekvationer i vilket utrymme som helst med en dimension större än tre. Huvudproblemet här är den fysiska tolkningen av högre dimensioner.

Fysisk tolkning av högre dimensioner

Vi lever i tredimensionellt rum och endimensionell tid. Våra instrument fixar inte närvaron av högre dimensioner, som introduceras i denna teori. De försöker förklara detta på olika sätt, historiskt sett uppstod den första av dem i Kaluza-Klein-teorin: de högsta dimensionerna vid varje punkt har en sluten topologi (i form av sfärer, tori eller Calabi-Yau-grenrör ) med diametrar på ordning av Planck-längden , så de visar sig inte på något sätt under normala förhållanden. För att "expandera" dessa dimensioner behövs enorm energi, eftersom fältexcitationer längs dem har en subplankisk våglängd och motsvarande energi. Denna förmåga kallas kompakta extradimensioner .

Å andra sidan kan vi anta att alla dimensioner är lika, men de fysiska fälten och interaktionerna vi observerar är på något sätt knutna till en fyrdimensionell hyperyta - branen - i ett högre dimensionellt utrymme. Detta tillvägagångssätt är populärt bland strängteoretiker och sägs lösa problemet med mörk materia .

Den enklaste rymdmodellen som låter dig kombinera alla 4 typer av grundläggande interaktioner är 10-dimensionell (11-dimensionell i teorier med supersymmetri) med följande dimensioner:

På grund av dess kompakthet introduceras extra dimensioner i ekvationerna som vibrationsgrader av frihet .

Historik

Efter skapandet av den allmänna relativitetsteorin , som är en relativistisk geometrisk gravitationsteori, började teoretiker att försöka kombinera Maxwells teori om elektromagnetism med den också på ett geometriskt sätt. Som det visade sig är det omöjligt att göra detta inom ramen för fyra dimensioner. Detta blev tydligt efter misslyckandet med Weyls teori, som försökte förena gravitation och elektromagnetism i ett fyrdimensionellt utrymme med hjälp av komplex geometri med torsion (Weyl-geometri). Denna teori gav fysiska konsekvenser som stred mot de experimentella, till exempel berodde klockans hastighet på deras historia.

För första gången gjordes ett försök att kombinera gravitation och elektromagnetism inom ramen för fem dimensioner av T. Kaluza (se Kaluza-Klein-teorin ). Einsteins femdimensionella ekvationer delades in i fyrdimensionella Einsteins ekvationer och Maxwells ekvationer genom (4 + 1) splittring . Vad som är oklart i detta tillvägagångssätt är anledningen till sådan uppdelning och kravet som måste ställas på tillåtna koordinattransformationer (de måste lämna den elektromagnetiska-elektromagnetiska komponenten av metriken oförändrad och lika med enhet) - detta medför förlust av den allmänna kovarians av teorin. Men den mest betydande nackdelen med teorin var den övre gränsen för förhållandet mellan laddningen av en partikel och dess massa, sammanfallande i form med begränsningen av existensen av en händelsehorisont i utrymmet för ett Reissner-Nordström svart hål , som motsägs av elektroner och alla andra kända laddade elementarpartiklar.

Upptäckten på 1960-talet av Weinberg, Salam och Glashow av enheten i den elektrosvaga interaktionen gjorde det möjligt att härleda svaga interaktioner från Einsteins ekvationer, även om deras dimension för detta måste ökas till sju. Således finns det en ökning av utrymmets dimension:

Anteckningar

  1. ↑ supergravity - Historia, relation till supersträngar, nomenklatur  (nedlänk)

Litteratur