Grannskap

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 februari 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

En grannskap till en punkt är en uppsättning som innehåller den givna punkten och nära (i någon mening) till den. I olika grenar av matematiken definieras detta begrepp på olika sätt.

Definitioner

Matematisk analys

Låt ett godtyckligt fast nummer. $\varepsilon >0$

En punkts grannskap på den verkliga linjen (kallas ibland en grannskap) är den uppsättning punkter som är mindre än , det vill säga . $x_{0}$ $\varepsilon$ $x_{0}$ $\varepsilon$ $O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}$

I det flerdimensionella fallet utförs grannskapsfunktionen av en öppen boll centrerad vid punkten . $\varepsilon$ $x_{0}$

I ett Banach-utrymme kallas en stadsdel centrerad vid en punkt en uppsättning . $(B,\|\cdot\|)$ $x_{0}$ $A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\varepsilon\}$

I ett metriskt utrymme kallas en stadsdel som är centrerad vid en punkt en mängd . $(M,\rho)$ $y$ $A=\{x\in M:\rho(x,y)<\varepsilon\}$

Allmän topologi

Låt ett topologiskt utrymme ges , där är en godtycklig mängd och är en topologi definierad på . $(X,{\mathcal {T}})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$

En mängd kallas grannskap av en punkt om det finns en öppen mängd så att . $V\delmängd X$ $x\i X$ $U\in \mathcal{T}$ $x \in U \delmängd V$
På liknande sätt är en grannskap av en uppsättning en uppsättning så att det finns en öppen uppsättning för vilken . $M\delmängd X$ $V\delmängd X$ $U\in \mathcal{T}$ $M \subset U \subset V$

Anteckningar

Ovanstående definitioner kräver inte att en stadsdel är en öppen uppsättning, utan bara att den innehåller en öppen uppsättning . Vissa författare insisterar på att alla stadsdelar är öppna. [1] Då är en grannskap av en mängd vilken öppen mängd som helst som innehåller den. Detta är inte en grundläggande skillnad för utvecklingen av ytterligare topologisk teori. Men i varje fall är det viktigt att fixa terminologin. $V$ $U$
En grannskap av en uppsättning punkter är en uppsättning så att det finns en grannskap för vilken punkt som helst . $M$ $V$ $V$ $x\i M$

Exempel

Låt en riktig linje med standardtopologi ges . Då är en öppen grannskap, och är en sluten grannskap av punkten . $(-1,2)$ $[-1,2]$ $0$

Variationer och generaliseringar

Pierced Neighborhood

En punkterad grannskap av en punkt är en grannskap av en punkt från vilken denna punkt är exkluderad.

Strängt taget är en punkterad grannskap inte en grannskap av en punkt, för enligt definitionen av en grannskap måste en grannskap inkludera själva punkten.

Formell definition: En uppsättning kallas en punkterad grannskap (punkterad grannskap) av en punkt if $\dot{V}$ $x\i X$

\dot{V} = V \setminus \{x\},

var är grannskapet . $V$ $x$

Se även

Ordlista för allmän topologi

Anteckningar

↑ Rudin, 1975 , sid. 13.

Litteratur

Matematisk uppslagsverk. — M .: Soviet Encyclopedia , 1984 . - T. 4.
W. Rudin. Funktionsanalys. — M .: Mir , 1975 .