D'Alembert operatör

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 januari 2020; kontroller kräver 4 redigeringar .

D'Alembert- operatorn ( d'Alembert-operator, vågoperator, d'Alembertian ) är en differentialoperator av andra ordningen

\square u:=\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},

var är Laplace-operatorn , är en konstant. Ibland skrivs operatören med motsatt tecken. $\Delta$ $c$

Den har formen i kartesiska koordinater :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+{\frac { \partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^ {2}}},

tillåter en direkt generalisering till vilken ändlig rymddimension som helst , både större än och mindre än tre (en sådan generalisering kallas också d'Alembert-operatorn, med tillägget, om det inte framgår av sammanhanget, " -dimensionell"). $n$

I fallet med en vektor tar d'Alembert-operatorn formen:

${\displaystyle \square \mathbf {A} :=\Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} } {\partial t^{2))))$ [1] , därär en vektor, $\mathbf {A}$ $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\square \mathbf {A} :=\Delta A_{x}\mathbf {i} +\Delta A_{y}\mathbf {j} +\Delta A_{z}\mathbf {k} -{\ frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} )$

$\square \mathbf {A} :={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^ {2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\ mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y} }{\partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\ biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} -{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z }\mathbf {k} )$

Uppkallad efter J. D'Alembert (1747), som ansåg dess enklaste form när man löste en endimensionell vågekvation .

Det används i elektrodynamik , akustik och andra problem med vågutbredning (främst linjär). D'Alembert-operatorn (av motsvarande dimension) ingår i vågekvationen för vilken dimension som helst, som utgör dess grund, såväl som i Klein-Gordon-Fock-ekvationen .

Det är lätt att se att d'Alembert-operatorn är en generalisering av Laplace-operatorn till fallet med Minkowski-utrymmet .

Skriva i kurvlinjära koordinater

D'Alembert-operator i sfäriska koordinater :

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\ höger)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u} {\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};

i cylindriska koordinater :

{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right )+{\frac {1}{\rho ^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2))}+{\frac {\partial ^{2 }u}{\partial z^{2))}-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))} ;

generellt kurvlinjära koordinater (för rum-tid):

\square u\equiv {\frac {1}({\sqrt {-g)))){\frac {\partial }{\partial x^{\nu ))}\left({\sqrt {-g} }\,g^{{\mu \nu}}{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),

där är matrisens determinant , sammansatt av koefficienterna för den metriska tensorn . $g$ $\|g_{{\mu \nu ))\|$ $g_{\mu \nu }$

Anteckningar

↑ I.V. Savelyev "Course of General Physics" Volym II stycke "Vågekvation" s. 398

Litteratur

V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher Education". Förlag MPI 1984.
I.V. Savelyev "Course of General Physics" Volym II

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen