Orbifold

Orbifold , eller orbifold , - informellt sett är detta en mångfald med singulariteter som ser ut som en faktor av det euklidiska rummet av en ändlig grupp.

Ett av studieobjekten i algebraisk topologi , algebraisk och differentialgeometri , singularitetsteori .

Orbifold och manifold (jämförelse av definitioner)

En orbifold definieras som ett Hausdorff topologiskt utrymme (kallat det underliggande utrymmet av en orbifold) och en distingerad uppsättning öppna kartläggningar (kallad en atlas ) så att bilderna bildar ett täckande av utrymmet . $X$ $\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\subset \mathbb{R} ^{n}\to X$ $\varphi _{\alpha }(U_{\alpha })$ $X$

Atlasen måste uppfylla en viss uppsättning egenskaper, som vi beskriver informellt.

Till skillnad från sorter är kartor inte homeomorfismer, men för varje karta finns det en ändlig grupp som verkar på och kartlägger sig själv. För orbifolder mellan diagram finns det också jämförelsehomeomorfismer, men till skillnad från sorter är de inte unika och översätts till varandra under verkan av motsvarande grupper. $\varphi _{\alpha }$ $\Gamma _{\alpha }$ $\mathbb {R} ^{n}$ $U$

Notera

En Riemannsk orbifold kan definieras mycket kort, nämligen som ett utrymme som är lokalt isometriskt till en faktor av en Riemannmanifold med avseende på en finit isometrigrupp . Utifrån denna definition kan man konstruera en definition av en orbifold utan ett mått. [ett]

Exempel

Ett par grenrör med verkan av en diskret diffeomorfismgrupp definierar en orbifold med underliggande utrymme . $M$ $\Gamma$ $M/\Gamma$
- Sådana orbifolder kallas bra , om en sådan representation inte finns, då kallas orbifolden dålig .
Exempel på orbifolder med en tvådimensionell sfär som ämnesrum kan erhållas genom att ange två kartor , och för naturliga tal och . ${\mathbb S}^{2}={\hat {\mathbb C))$ $f,\;g\colon {\mathbb C}\to {\hat {\mathbb C))$ $f(z)=z^{m}$ $g(z)=1/z^{n}$ $m$ $n$
- Denna orbifold är bra om och bara om . $n=m$

Historik

Orbifolds ansågs först av , kallade dem V -grenrör Termen "orbifold" ( engelska orbifold ) introducerades senare av Thurston .

Båda definierade en orbifold som en mångfaldig handlingsfaktor för en grupp (i modern terminologi definierade de "bra orbifolds"). Senare gav André Hafliger en mer allmän definition i termer av groupoids , vilket är den moderna standarddefinitionen.

Anteckningar

↑ arXiv : 1801.03472

Litteratur

Arnold, V. I. Egenskaper hos frätande material och vågfronter. — M.: FAZIS, 1996. — 334 sid. - ISBN 978-5-7036-0021-4 .
Kaku, Michio. Introduktion till supersträngteori / per. från engelska. G.E. Arutyunova, A.D. Popova, S.V. Chudova; ed. Jag. Ja, Arefieva. — M .: Mir , 1999. — 624 sid. — ISBN 5-03-002518-9 .
Ketov, S. V. Introduktion till kvantteorin för strängar och supersträngar. - Novosibirsk: Nauka, 1990. - 368 sid. — ISBN 5-02-029660-0 .
Scott P. Geometri på tredimensionella grenrör. — M.: Mir, 1986.
Dixon L., Harwey JA, Vafa C., Witten E. Strings on orbifolds // Nucl. Phys., 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.