Zener-Bloch svängningar

Zener-Bloch- svängningar är svängningar av en partikel som rör sig i en periodisk potential under inverkan av en konstant kraft. Ett exempel på ett system där sådana vibrationer kan uppstå är ett kristallint fast ämne. I riktiga kristaller är det svårt att skapa förutsättningar för att observera Zener-Bloch-svängningar, men de har observerats i artificiella system, till exempel supergitter .

Clarence Zener [1] övervägde sådana svängningar för kristallelektroner i ett externt elektriskt fält. Felix Bloch generaliserade teorin till fallet med alla partiklar och vilka krafter som helst.

Semiklassisk betraktelse

Om vi försummar interbandsövergångarna för elektroner i närvaro av ett externt elektriskt fält , så bestäms förskjutningen av en elektron i k-rymden helt av Newtons andra lag: $\mathbf {E}$

\hbar \;{\frac {dk}{dt}}=-e\mathbf {E}

Var är den elementära laddningen (i dessa beteckningar är laddningen av en elektron lika med C). I frånvaro av kollisioner passerar elektronen genom hela den första Brillouin-zonen , reflekteras från dess gräns, korsar zonen igen och reflekteras igen vid gränsen. Som ett resultat har sådan rörelse av en elektron i bandet under inverkan av ett konstant elektriskt fält karaktären av svängningar i rymden, och därmed i det vanliga rymden. Dessa svängningar kallas Zener-oscillationer (ett partiellt fall av ett elektriskt fält) och Bloch-svängningar (ett allmänt fall av ett potentiellt fält av vilken karaktär som helst). $e$ ${\displaystyle -e=-1.6\cdot 10^{-19))$ $\mathbf {k}$

Låt fältet riktas längs den reciproka gittervektorn , som bestämmer positionen för gränsen för Brillouin-zonen som reflekterar elektroner. I en svängning färdas en elektron en sträcka . Om , där är gitterkonstanten, är den cykliska frekvensen lika med: $\mathbf {E}$ ${\mathbf {K}}$ $K$ $K={\frac {2\pi }{a}}$ $a$

\omega _{z}={\frac {eEa}{\hbar \;}}

Eftersom A, för V/m-fältet , är frekvensen ungefär Hz. Svängningar är begränsade i utrymmet. I en sådan situation modifierar störningspotentialen energinivåerna i zonen. Och tillstånden, vars energi skiljer sig åt med ett värde , ändrar energierna längs zonens kanter. Lika energier skapar den sk. Stark-stegen, så kallad eftersom dess förekomst liknar Stark-effekten i atomfysik. Det är tydligt att amplituden för rumsliga svängningar bestäms av zonens bredd : $a\approx \;3$ $2\cdot 10^{6}$ $10^{13}$ $e\mathbf {E} \mathbf {r}$ $eEa$ $L_{z}$ ${\displaystyle W_{b))$

L_{z}={\frac {W_{b}}{2eE}}

Eftersom det finns ett tillstånd per enhetscell förblir det totala antalet svängningar detsamma, men intervallen mellan intilliggande energinivåer förblir ändliga och identiska.

Kvantteori [2]

Vågfunktionen för en elektron i Zener-Bloch-tillståndet skiljer sig uppenbarligen från en resande våg, eftersom det inte längre är ett bra kvanttal. Med tanke på den tillämpade potentialen som en störning finner vi: $\mathbf {k}$

{\big (}H_{0}^{*}-e\mathbf {E} \cdot \mathbf {r} {\big )}\psi _{z}=E_{z}\psi _{ z}

\psi _{z}=V^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\phi _{ k}(\mathbf {r} )

var finns Bloch-bandets funktioner, . Störningsteorin ger $\psi _{k}(\mathbf {r} )$ ${\hat {H}}_{0}^{*}=p^{2}/2m^{*}$

c_{k'}=\summa _{\mathbf {k} }^{\propto }\;{\frac {c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-eE\mathbf { r} |\mathbf {k} \right\rangle }{W_{z}-W_{k'}}}

Matriselementet beräknas enklast med hänsyn tagen

\mathbf {r} \exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )=-i\nabla _{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )

Övergång från summering till integration med hjälp av relationen $\mathbf {k}$

\sum _{\mathbf {k} }\;\to \int _{}^{}{\frac {V}{8\pi ^{3}}}\,d\mathbf {k}

och genom att integrera med delar, med hjälp av ortogonalitetsegenskapen för plana vågor, får vi:

\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-e\mathbf {E} \mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle =-e\mathbf {E} \Delta _{k}c_{k}\delta _{kk'}

var hittar vi derivatorna

{\frac {dc_{k}}{d\mathbf {k} }}={\frac {i(W_{z}-W_{k})c_{k}}{eE}}

tycka om

c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace \int _{}^{}{\frac {i(W_{z}-W_{k})}{eE}}\,d \mathbf {k} \right\rbrace

För att vågfunktionen ska vara periodisk måste funktionen vara periodisk. Om vi sätter $c_{k}$

W_{k}=W_{0}+W(\mathbf {k} ),

var är energin i mitten av bandet, då innebär periodicitetstillståndet jämlikhet mellan energierna ${\displaystyle W_{k}=W_{0))$

W_{z}-W_{0}=e\mathbf {E} n'(\mathbf {a} ),

där är ett heltal och är en enhetscellsvektor. Som ett resultat är det tillstånd som egenvärdet motsvarar lokaliserat i utrymmet av den elementära cellen som är belägen vid den punkt , varifrån, om vi antar , finner vi $n'$ ${\mathbf {a}}$ ${\displaystyle W_{z))$ $n'\mathbf {a}$ $n'\mathbf {a} =\mathbf {r}$

c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace -i{\big (}\mathbf {k} \mathbf {r_{0}} \int _{}^{}{\frac { iW_{k}}{eE}}\,d\mathbf {k} {\big )}\right\rbrace

Bloch-vågfunktionerna här tar formen

\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}\summa _{\mathbf {k} }^{\propto }\;u_{k}(\mathbf {r}) \exp \left\lbrace i\int _{}^{}{\frac {W(\mathbf {k} )}{eE}}\,d\mathbf {k} -i\mathbf {k} (\mathbf {r_{0}-r} )\right\rbrace .

Nu kan du använda en enkel modell som beskriver zonen i fältets riktning : $\mathbf {E}$

W\mathbf {k} =-{\frac {W_{b}}{2}}\cos ka

-{\frac {\pi }{a}}<k<{\frac {\pi }{a)),

var är zonens bredd. Vidare antar vi att funktionen av . Sedan ${\displaystyle W_{b))$ $u_{k}(\mathbf {r} )$ $\mathbf {k}$

\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}u(\mathbf {r} )\summa _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\exp \ vänster\lbrace -{\frac {iW_{b}\sin {ka}}{2eEa}}-i\mathbf {k} \mathbf {r_{0}-r} \right\rbrace =

=c_{0}u(\mathbf {r} )J_{n}({\frac {W_{b}}{2eEa}}),\quad n=(x_{0}-x)/a ,

där är Bessel-funktionen, är ett heltal och fältet är riktat längs axeln . Vid punkten beter sig funktionen som en stående våg med en vågvektor av magnitud , det vill säga längden på vågvektorn är lika med halva avståndet från centrum av Brillouin-zonen till dess gräns. När , ger den asymptotiska expansionen $J_{n}(z)$ $n$ $x$ $x = x_0$ $J_{n}(z)$ $\pi /2a$ $|x_{0}-x|\gg \,a$

J_{n}\left({\frac {W_{b}}{2eEa}}\right)\approx \;{\frac {(-1)^{|x_{0}-x|/a }}{(2\pi |x_{0}-x|/a)^{1/2}}}\left({\frac {e_{n}L_{z}}{2|x_{0}- x|}}\höger)^{|x_{0}-x|/a}

var är den klassiska amplituden för rumsliga svängningar och är basen för naturliga logaritmer. Det är tydligt att vid , avtar vågfunktionen mycket snabbt. Den minskar vid , och når ett maximum vid punkten . Beteendet hos denna vågfunktion liknar kvalitativt beteendet hos en harmonisk oscillator - den växer i ändarna av segmentet, motsvarande de klassiska vändpunkterna. För att observera detta fenomen är det nödvändigt att uppfylla villkoren $L_{z}$ $e_{n}$ $|x_{0}-x|>e_{n}L_{z}/2$ $|x_{0}-x|\rightarrow 0$ $|x_{0}-x|=L_{z}/2$

\omega _{z}\tau >1,

var är tiden mellan kollisioner. Vanligtvis utförs tidtagningen för tillstånd nära zonens kanter. Typiska värden är ca. Som ett resultat är elektronen som utför Zener-Bloch-svängningarna för det mesta lokaliserad nära bandets kanter, och därför är det rimligt att ta en tidsuppskattning på cirka . För detta ändamål är det nödvändigt att skapa fält som överstiger V/m. I många fall kan ett så starkt fält leda till nedbrytning av halvledaren. $\tau$ $\tau$ $\tau$ $10^{{-13}}$ $10^{{-13}}$ $2\cdot 10^{6}$

Fotnoter

↑ Clarence Zener. Teori om elektriskt nedbrytning av fast dielektrikum // Proc. Roy. soc. A .. - 1934. - T. 145 . - S. 523 - 529 . - doi : 10.1098/rspa.1934.0116 .
↑ Ridley B. Kvantprocesser i halvledare / Per. från engelska. I.P. Zvyagin, A.G. Mironov. — M .: Mir, 1986. — 304 sid.

Zener-Bloch svängningar

Semiklassisk betraktelse

Kvantteori [2]

Fotnoter

Se även