Par (B, N)
Paret ( B , N ) är en struktur på en grupp av Lie-typ , vilket gör att vi kan ge enhetliga bevis för många resultat istället för att överväga ett stort antal bevis efter varianter. Grovt sett visar paret att alla sådana grupper liknar den kompletta linjära gruppen över fältet. Par introducerades av matematikern Jacques Tits och därför kallas de ibland för bröstsystem .
Definition
Ett par ( B , N ) är ett par av undergrupper B och N i en grupp G som uppfyller axiomen [1]
- Föreningen av grupperna B och N genererar G .
- Skärningspunkten H för grupperna B och N är en normal undergrupp av N .
- Gruppen W = N/H genereras av mängden S av element w i av ordningen 2 för i i någon icke - tom mängd I.
- Om w i är ett element av S och w är vilket element av W som helst , så ingår w i Bw i föreningen av Bw i wB och BwB .
- No w i generator normaliserar B .
Tanken bakom definitionen är att B är analogen till de övre triangulära matriserna i den fullständiga linjära gruppen GL n ( K ), H är analogen till de diagonala matriserna och N är analogen till normalisatorn H .
Undergruppen B kallas ibland en Borel-undergrupp , H kallas ibland en Cartan-undergrupp och W kallas en Weil-grupp . Paret ( W , S ) är ett Coxeter-system .
Antalet generatorer kallas rang .
Exempel
- Antag att G är vilken som helst dubbel transitiv permutationsgrupp på en mängd X med mer än två element. Låt B vara en undergrupp av G som lämnar punkten x på plats och låt N vara en undergrupp som lämnar de två punkterna x och y på plats eller byter plats . Undergruppen H består då av element som lämnar både punkterna x och y på plats, och W har ordning 2 och dess icke-triviala element permuterar x och y .
- Omvänt, om G har ett par (B, N) av rang 1, så är verkan av G på cosets av B dubbelt transitiv . Således är BN-par av rang 1 mer eller mindre desamma som dubbla permutationsåtgärder på en uppsättning av fler än 2 element.
- Antag att G är en fullständig linjär grupp GL n ( K ) över ett fält K . Låt oss ta övre triangulära matriser som B , diagonala matriser som H , och generaliserade permutationsmatriser som N , dvs. matriser med exakt ett element som inte är noll i varje kolumn och i varje rad. Det finns n − 1 generatorer w i , representerade av matriser som erhålls genom att permutera raderna i den diagonala matrisen.
- Mer generellt har alla grupper av Lie-typ ett BN-par.
- En reduktiv algebraisk grupp över ett lokalt fält har ett BN-par där B är en Iwahori-undergrupp .
Egenskaper för grupper med par BN
Kartan w till BwB är en isomorfism från mängden element i gruppen W till mängden dubbla coset i gruppen G med avseende på B . Klasserna bildar en Bruhat-nedbrytning G = BWB .
Om T är en delmängd av S , låt W ( T ) vara en undergrupp av W som genereras av en delmängd av T. Vi definierar G ( T ) = BW ( T ) B som standardparabolundergruppen [ av T . Undergrupper av G som innehåller undergrupper konjugerar till B är paraboliska undergrupper [2] . Komängderna av B kallas Borel (eller minimala paraboliska undergrupper). Dessa är exakt de vanliga paraboliska undergrupperna.
Applikationer
BN-par kan användas för att bevisa att många grupper av Lie-typ är primära modulocentra. Närmare bestämt, om G har ett BN -par så att B är lösbart , skärningspunkten mellan alla bimängder av B är trivial, och mängden generatorer av W inte kan dekomponeras i två icke-tomma pendlingsmängder, då är G enkel om den är perfekt (är då samma som dess kommutator ). I praktiken är alla dessa förhållanden, med undantag för perfektionen av gruppen G , lätta att verifiera. Att kontrollera perfektionen av grupp G kräver en del komplicerade beräkningar (och vissa små grupper av Lie-typ är inte perfekta). Att visa att en grupp är perfekt är dock oftast mycket lättare än att visa att en grupp är enkel.
Anteckningar
- ↑ Bourbaki, 1972 , sid. 27.
- ↑ Bourbaki, 1972 , sid. 34.
Litteratur
- Nicholas Bourbaki . Lögngrupper och lögnalgebror: Kapitel 4–6. - Springer, 2002. - (Elements of Mathematics). — ISBN 3-540-42650-7 .
- N. Bourbaki . §2. Tits-system // Groups and Lie-algebror: Coxeter-grupper och Tits-system, grupper genererade av reflektioner av rotsystemet / transl. från franskan av A.I. Kostrikin och A.N. Tyurin. - Moskva: "Mir", 1972. - S. 26-38. — (Matematikens element).
- Jean-Pierre Serre . träd. - Springer, 2003. - ISBN 3-540-44237-5 .