Plücker-koordinater

Plücker-koordinater är koordinater (uppsättningar av siffror) som definierar delrum (av godtycklig dimension) av en vektor eller projektivt utrymme . De är en generalisering av de homogena koordinaterna för punkter i det projektiva rummet och definieras också upp till multiplikation med en godtycklig icke-nollfaktor. Först introducerad av Plücker i det speciella fallet med projektiva linjer i tredimensionellt projektivt rum, vilket motsvarar fallet för vektorrum också. $M$ $L$ $\dim M=2$ $\dim L=4$

Definition i koordinater

Låta vara -dimensionellt delrum av -dimensionellt vektorrum . För att bestämma Plücker-koordinaterna för underrummet väljer vi en godtycklig bas i och en godtycklig bas i . Varje vektor har koordinater i basen , det vill säga . Genom att skriva vektorernas koordinater som strängar får vi matrisen $M$ $m$ $n$ $L$ $M$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $L$ $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$ $M$ $a_{i}$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $(a_{i1},\;\ldots ,\;a_{i})$ ${\displaystyle a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{i}e_{n))$ $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},

vars rang är . Beteckna med moll i matrisen som består av kolumner med siffror som tar värden från till . Siffrorna är inte oberoende: om uppsättningen av index erhålls från en permutation , så sker likhet , där plus- eller minustecknet motsvarar om permutationen är jämn eller udda. Betraktad upp till multiplikation med en gemensam icke-nollfaktor, kallas uppsättningen av siffror för alla ordnade uppsättningar av index som tar värden från till underrummets Plücker-koordinater . $m$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $A$ ${\displaystyle i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $ett$ $n$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $(i_{1},\;\ldots ,\;i_{m})$ $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m})$ ${\displaystyle \sigma \in S_{m))$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m}}$ $\sigma$ ${\displaystyle C_{n}^{m))$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m))$ $ett$ $n$ $M$

Egenskaper

1. Oberoende av valet av underlag .

Om en annan grund väljs i underrymden , kommer den nya uppsättningen Plücker-koordinater att se ut som , där är någon icke-nollfaktor. Den nya basen är faktiskt relaterad till de gamla relationerna , och matrisens bestämningsfaktor är inte noll. Enligt definitionen av Plücker-koordinater och satsen om determinanten av produkten av matriser har vi , där . $M$ ${\displaystyle a'_{1},\;\ldots ,\;a'_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ $c$ ${\displaystyle a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m))$ $(a'_{ij})$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ $c=\det(a'_{ij})$

2. Gräsman .

Genom att tilldela varje dimensionellt delrum en uppsättning av dess Plücker-koordinater , associerar vi någon punkt i dimensionens projektiva rum . Kartan konstruerad på detta sätt är injektiv , men inte surjektiv (det vill säga dess bild sammanfaller inte med hela utrymmet ). Bilden av uppsättningen av alldimensionella delrum i det dimensionella utrymmet under kartläggning är en dimensionell projektiv algebraisk variation i , kallad Grassmann-varianten eller Grassmannian och betecknad med eller . $m$ $M$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $M$ $P$ $C_{n}^{m}-1$ $g$ $P$ $m$ $n$ $g$ $m(nm)$ $P$ $G(m,\;n)$ $\mathrm {Gr} _{m}(L)$

3. Plücker relationer .

Kriteriet med vilket man kan avgöra om en given punkt i ett projektivt utrymme tillhör en Grassmann är de så kallade Plücker-relationerna : $P$ $G(m,\;n)$

\sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r)) \cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r))},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \, (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),

där alla index i uppsättningarna och tar värden från till , betecknar tecknet utelämnandet av indexet under det. Denna summa erhålls om ett index tas bort från mängden ett i taget och detta index tilldelas till höger om mängden , då multipliceras de två resulterande talen (observera att dessa siffror är mindre i matrisen , men är inte nödvändigtvis Plücker-koordinater, eftersom uppsättningarna av deras index inte nödvändigtvis är stigande) och sedan tas summan av alla sådana produkter med alternerande tecken. Plücker-relationerna gäller för varje dimensionellt delrum av . Och vice versa, om de homogena koordinaterna , , för någon punkt i det projektiva utrymmet uppfyller dessa relationer, så motsvarar denna punkt, när den kartläggs , något delrum av , det vill säga den tillhör . $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ $ett$ $n$ ${\breve {))$ $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ $p_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m))=M_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m))$ $A$ $m$ $M\subset L$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m))$ $P$ $g$ $M\subset L$ $G(m,\;n)$

På matrisspråket betyder detta: om talen uppfyller Plücker-relationerna, så finns det en matris för vilken de är mindreåriga av maximal ordning, och om inte, så finns det ingen sådan matris. Det löser problemet med möjligheten att återställa en matris från dess mindreåriga av maximal ordning, upp till en linjär transformation av rader. $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$

Exempel

I fallet och vi har , och därför har varje plan i det 4-dimensionella vektorutrymmet Plücker-koordinater: , , , , , . Att välja en bas i planet på ett sådant sätt att och , vi får matrisen $n=4$ $m=2$ $C_{4}^{2}=6$ $M$ $6$ $p_{12}$ $p_{13}$ $p_{14}$ $p_{23}$ $p_{24}$ $p_{34}$ $M$ $a_{1},\;a_{2}$ $a_{1}=e_{1}$ $a_{2}=e_{2}$

A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix)),

varifrån vi hittar:

p_{12}=1

, , , , , .

p_{13}=\gamma

p_{14}=\delta

p_{23}=-\alpha

p_{24}=-\beta

p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma

Uppenbarligen finns det ett samband

p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0

som bevaras när alla multipliceras med någon gemensam faktor, det vill säga det beror inte på valet av underlag. Detta är Plücker-relationen, som definierar en projektiv kvadrik i ett 5-dimensionellt projektivt rum. $p_{i_{1}i_{2))$ $G(2,\;4)$

Litteratur

Kartan E. Externa differentialsystem och deras geometriska problem. - M . : MSU förlag, 1962.
Zelikin MI Homogena utrymmen och Riccati-ekvationen i variationskalkylen. - M . : Faktoriell, 1998.
Hodge V., Pido D. Metoder för algebraisk geometri. - T. 1. - M. : IL, 1954. (Här kallas Plücker-koordinater för Grassmann-koordinater).
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. — M. : Fizmatlit, 2009.
Casas-Alvero E. Analytisk projektiv geometri. - : European Mathematical Society, 2014.