Ytor med konstant medelkurvatur

Ytor med konstant genomsnittlig krökning — en klass av ytor som modellerar ytorna på tvålfilmer som separerar områden med en fast tryckskillnad. I det särskilda fallet, om trycket är lika på båda sidor, bestämmer modellen minimiytorna .

Definieras som släta ytor med konstant medelkurvatur .

Forskningens historia

1841 bevisade Charles-Eugène Delaunay att de enda rotationsytorna med konstant medelkrökning var de som erhölls genom att rotera kurvorna som erhölls med rullande koner. Dessa är plan, cylinder, sfär, katenoid , unduloid och nodoid . [ett]

År 1853 visade J. Gelle att om en kompakt stellerad yta i B har en konstant medelkrökning, så är det en standardsfär. [2] Därefter bevisade Aleksandr Danilovich Aleksandrov att en kompakt inbäddad yta med konstant medelkurvatur måste vara en sfär. [3] $S$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $H\neq 0$
- Baserat på detta föreslog Heinz Hopf 1956 att varje nedsänkt kompakt orienterbar hyperyta med konstant medelkurvatur β måste vara en rund sfär. $\mathbb {R} ^{n}$
- Denna gissning vederlagdes 1982 av Wu-Yi Xiang med ett motexempel i . $\R^4$
- 1984 byggde Henry C. Wente den så kallade Wente torus , en nedsänkning i en torus med konstant medelkurvatur. [fyra] $\mathbb {R} ^{3}$

Det finns metoder för att konstruera en uppsättning exempel. [5] I synnerhet gör limningsmetoder det möjligt att godtyckligt kombinera ytor med konstant medelkurvatur. [6] [7] [8]

Blandningen visade att det inte finns några kapslade ytor med konstant medelkurvatur med ena änden vid . [9] Korevaar, Kusner och Solomon bevisade att ändarna på en komplett inbäddad yta är asymptotiska unduloider . [tio] $\mathbb {R} ^{3}$

Applikationer

Förutom tvålfilmer uppträder ytor med konstant medelkurvatur som gas-vätskegränssnitt på en superhydrofob yta. [elva]

Inom arkitektur används ytor med konstant medelkrökning i luftstödda strukturer , såsom uppblåsbara kupoler och höljen, och som en källa till flytande organiska former. [12]

Anteckningar

↑ C. Delaunay, Sur la yta de révolution dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl. 6 (1841), 309-320.
↑ JH Jellet, Sur la Surface dont la Courbure Moyenne est Constant, J. Math. Pures Appl. 18 (1853), 163-167
↑ AD Alexandrov, Uniqueness theorem for ytor i den stora, V. Vestnik, Leningrad Univ. 13, 19 (1958), 5-8, Amer. Matematik. soc. Trans. (Serie 2) 21, 412-416.
↑ Wente, Henry C. (1986), Motexempel till en gissning av H. Hopf. , Pacific Journal of Mathematics vol. 121: 193–243, doi : 10.2140/pjm.1986.121.193 , < http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702809 > Arkiverad 10 juni 2020, vid Wayback Machine .
↑ Karsten Grosse-Brauckmann, Robert B. Kusner, John M. Sullivan . Coplanar konstant medelkurvaturytor. Comm. Anal. Geom. 15:5 (2008) s. 985-1023. ArXiv math.DG/0509210.
↑ N. Kapouleas. Kompletta konstanta medelkrökningsytor i Euklidiska tre rymden Arkiverad 29 januari 2022 på Wayback Machine , Ann. av. Matematik. (2) 131 (1990), 239-330
↑ Rafe Mazzeo, Daniel Pollack, limning och moduler för icke-kompakta geometriska problem. 1996 arXiv: dg-ga/9601008
↑ I. Sterling och H.C. Wente, Existence and classification of constant mean curvature multibubbletons of finite and infinite type Arkiverad 22 maj 2019 på Wayback Machine , Indiana Univ. Matematik. J. 42 (1993), nr. 4, 1239-1266.
↑ Meeks WH, Topologin och geometrin hos inbäddade ytor med konstant medelkurvatur , J. Diff. Geom. 27 (1988) 539-552.
↑ Korevaar N., Kusner R., Solomon B., Strukturen av kompletta inbäddade ytor med konstant medelkurvatur, J. Diff. Geom. 30 (1989) 465-503.
↑ EJ Lobaton, T. R. Salamon. Beräkning av konstant medelkrökningsytor: Applicering på gas-vätskegränsytan av en trycksatt vätska på en superhydrofob yta. Journal of Colloid and Interface Science. Volym 314, nummer 1, 1 oktober 2007, sid 184-198
↑ Helmut Pottmann, Yang Liu, Johannes Wallner, Alexander Bobenko, Wenping Wang. Geometri av flerskikts friformsstrukturer för arkitektur. ACM Transactions on Graphics — Proceedings of ACM SIGGRAPH 2007 Volym 26 Utgåva 3, juli 2007 Artikelnr. 65