Unduloid

Unduloid är ett exempel på en yta med konstant medelkurvatur . Det är rotationsytan för banan för ellipsens fokus när den rullas i en rak linje.

Historik

1841 bevisade Charles Delaunay att de enda ytorna med konstant genomsnittlig krökning var de som erhölls med rullande koner . De är plan, cylinder, sfär, katenoid , unduloid och nodoid . [ett]

Parametrisering

Låt beteckna Jacobis normalsinusfunktion och beteckna Jacobis normala elliptiska funktion . Låt vidare representera en normal elliptisk integral av det första slaget och representera en normal elliptisk integral av det andra slaget. Låt a vara längden på ellipsens huvudaxel och e vara ellipsens excentricitet . Låt k vara ett fast värde mellan 0 och 1, kallat modulen. $\operatörsnamn {sn} (u,k)$ $\operatörsnamn {dn} (u,k)$ $\operatörsnamn {F} (z,k)$ $\operatörsnamn {E} (z,k)$

Sedan beskrivs den elliptiska kontaktledningen av de parametriska ekvationerna

x(u)=-a\cdot (1-e)\cdot (\operatörsnamn {F} (\operatörsnamn {sn} (u,k),k)+\operatörsnamn {F} (1,k) )-a\cdot (1+e)\cdot (\operatörsnamn {E} (\operatörsnamn {sn} (u,k),k)+\operatörsnamn {E} (1,k))\,

y(u)=a\cdot (1+e)\cdot \operatörsnamn {dn} (u,k)\,

Så dess rotationsyta kan parametriseras enligt följande:

(x(u),y(u)\cdot \cos v,y(u)\cdot \sin v)

Ursprung i materialvetenskap

Det finns flera exempel på uppkomsten av unduloider i naturen.

Det första exemplet av detta slag dokumenterades 1970. När en stark elektrisk ström passerar genom en tunn (0,16–1,0 mm) horisontellt installerad styvt långsträckt (ej härdad ) silvertråd , leder det till bildandet av unduloider längs dess längd. Senare fann man att samma fenomen observeras på molybdentråd . [2]

Unduloider har också förekommit i ferrofluider . Genom att leda ström i axiell riktning genom en cylinder täckt med en film av trögflytande magnetisk vätska, interagerar vätskans magnetiska dipoler med strömmens magnetfält, vilket skapar ett mönster av droppar längs cylinderns längd.

Anteckningar

↑ C. Delaunay, Sur la yta de révolution dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl., 6 (1841), 309-320.
↑ "Periodiska videor, exploderande ledningar" på YouTube

Länkar

Unduloid // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.