Liknande matriser
Kvadratiska matriser A och B av samma ordning sägs vara lika om det finns en icke-singular matris P av samma ordning så att:
Liknande matriser erhålls genom att specificera samma linjära transformation av en matris i olika koordinatsystem ; i detta fall är matrisen Р övergångsmatrisen från ett system till ett annat.
Om två matriser är lika, sägs en av matriserna erhållas genom en likhetstransformation från den andra. Om dessutom en av matriserna är diagonal , sägs den andra matrisen vara diagonaliserbar.
Egenskaper
Matrislikhetsrelationen är en ekvivalensrelation i rummet av kvadratiska matriser.
Dessa matriser delar många egenskaper, nämligen:
- rang
- determinant
- Spår
- egenvärden (men egenvektorer kanske inte matchar)
- karakteristiskt polynom
- Jordan form upp till cellpermutation
Det kan bevisas att vilken matris A som helst liknar A T .
Kanoniska former av liknande matriser
Frågan uppstår ofta om hur mycket formen av en given linjär transformation kan förenklas genom att ändra grunden (d.v.s. koordinatsystemet). Eftersom de resulterande matriserna är lika, är detta detsamma som att söka efter någon kanonisk form av en matris i ekvivalensklassen av matriser som liknar matrisen för denna linjära transformation.
Den enklaste sådan formen skulle naturligtvis vara en diagonal matris, men alla matriser kan inte reduceras till en diagonal form (ett viktigt undantag är symmetriska reella och hermitiska matriser, som alltid kan diagonaliseras).
Det finns flera mer komplexa kanoniska former av matriser till vilka vilken matris som helst kan reduceras genom en likhetstransformation: