Nedbrytningsfält

Nedbrytningsfältet för ett polynom p över ett fält är den minsta förlängningen av fältet över vilket det sönderdelas till en produkt av linjära faktorer: $K$ $L$ $K,$ $sid$

p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),

var

x_{1},\dots ,x_{n}\in L\supseteq K.

I det här fallet, det vill säga det här är det maximala möjliga fältet, alla element där kan bildas genom att addera och multiplicera fältelement och tal både med varandra och med varandra. Därför talas om nedbrytningsfältet som en förlängning som erhålls genom att addera till alla rötter i ett givet polynom. $L=K(x_{1},\dots ,x_{n}),$ $K$ $x_1,\dots,x_n$ $L$ $K$

På liknande sätt introducerar vi konceptet med ett nedbrytningsfält för en familj av polynom , en förlängning L så att varje pi sönderdelas i L [ x ] till linjära faktorer och L genereras över K med alla rötter pi . Nedbrytningsfältet för en ändlig uppsättning polynom p 1 , p 2 , …, p n kommer uppenbarligen att vara nedbrytningsfältet för deras produkt p=p 1 p 2 …p n . $p_{i}(x),i\in I$

Expansionsfältet är en normal förlängning . Dessutom kan varje normal förlängning representeras som ett nedbrytningsfält av någon familj av polynom.

Egenskaper

Nedbrytningsfältet för en finit familj av polynom är en finit algebraisk förlängning av fältet . $K$
Nedbrytningsfältet för ett polynom existerar för vilken familj som helst av polynom pi och är unikt definierat upp till en isomorfism som är identisk på K .

Exempel

Om graden av polynomet inte överstiger , då . $sid$ $ett$ $L=K$
Fältet av komplexa tal $\mathbb {C}$ fungerar som expansionsfältet för ett polynom över fältet av reella tal . $x^{2}+1$ $\mathbb {R}$
Vilket ändligt fält som helst , där , är expansionsfältet för ett polynom över ett enkelt delfält . $GF(q)$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $GF(p)\subset GF(q)$

Litteratur

Van der Waerden B.L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967