Ricci flöde

Ricci-flödet är ett system av partiella differentialekvationer som beskriver deformationen av en Riemannisk metrik på ett grenrör .

Detta system är en icke-linjär analog till värmeekvationen .

Namngiven i analogi med Ricci-krökningen , för att hedra den italienska matematikern Ricci-Curbastro .

Ekvation

Ricci-flödesekvationen har formen:

\partial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.

där betecknar en enparametersfamilj av riemannska mått på en komplett grenledning (beroende på en verklig parameter ), och är dess Ricci-tensor . ${\displaystyle g_{t))$ $t$ ${\displaystyle \mathrm {Rc} _{t))$

Egenskaper

Formellt sett är ekvationssystemet som ges av Ricci-flödet inte en parabolisk ekvation . Det finns dock ett paraboliskt ekvationssystem som föreslagits av Deturk , så att om en Riemannisk metrisk på ett kompakt grenrör och , är lösningar av system och , då är det isometriskt för alla . $R$ $R'$ $g_{0}$ $M$ ${\displaystyle g_{t))$ ${\displaystyle g'_{t))$ $R$ $R'$ $(M,\;g_{t})$ $(M,\;g_{t}')$ $t$
- Denna konstruktion förenklade avsevärt beviset på existensen av en lösning, den kallas "Deturks trick".
På samma sätt som värmeekvationen (och andra paraboliska ekvationer ), genom att sätta godtyckliga initiala villkor vid , kan man få lösningar endast i en riktning i , nämligen . $t=0$ $t$ $t\geqslant 0$
I motsats till lösningarna i värmeekvationen fortsätter Ricci-flödet som regel inte på obestämd tid vid . Lösningen fortsätter till maximalt intervall . Om , naturligtvis, när man närmar sig krökningen av grenröret går till oändlighet, och en singularitet bildas i lösningen . Beviset för Thurstons gissningar baserades på studiet av singulariteter, som Ricci strömmar vilar mot. $t\to \infty$ $[0,\;T)$ $T$ $T$
Pseudolocality - om en del av en punkt i det första ögonblicket nästan ser ut som en bit av euklidiskt utrymme, kommer denna egenskap att finnas kvar under en viss tid i Ricci-flödet i ett mindre område.

Ändra de geometriska egenskaperna

För volymen av måttet är förhållandet sant ${\displaystyle \mathrm {vol} _{t))$ ${\displaystyle g_{t))$ ${\tfrac {\partial }{\partial t))(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).$
För den skalära krökningen av metriska , relationen ${\displaystyle \mathrm {R} _{t))$ ${\displaystyle g_{t))$ ${\tfrac {\partial }{\partial t))\mathrm {R} _{t}=\triangel _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{ t}|^{2}$

där definieras som för en ortonormal ram vid en punkt.

|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}

\sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j))^{2}

\{e_{i}\}

I synnerhet, enligt maximiprincipen , bevarar Ricci-flödet positiviteten hos den skalära krökningen.
Dessutom minskar inte infimum av den skalära krökningen.

För varje -ortonormal ram vid en punkt finns det en så kallad medföljande -ortonormal ram . För den krökningstensor som är skriven i denna bas är förhållandet sant $g_{0}$ $\{e^{i}\}$ $x\i M$ ${\displaystyle g_{t))$ $\{e_{t}^{i}\}$ ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t))$ ${\tfrac {\partial }{\partial t))\mathrm {Rm} _{t}=\triangel _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _ {t},\mathrm {Rm} _{t}),$

där finns en bestämd bilinjär kvadratisk form på utrymmet för krökningstensorer och med värden i dem.

F

Den bilinjära kvadratiska formen definierar ett vektorfält på vektorrummet för krökningstensorer – varje krökningstensor tilldelas en annan krökningstensor . ODE- lösningar $F$ $x$ $v_{x}=Q(x,x)$

{\dot {x}}=v_{x}

spelar en viktig roll i Ricci flödesteorin.

Konvexa uppsättningar i utrymmet för krökningstensorer som är invarianta under rotationer och sådana att om i den reducerade ODE , då för , kallas invariant för Ricci-flödet. Om krökningen av en Riemannisk metrik på ett stängt grenrör vid varje punkt tillhör en sådan , då är det också sant för de metriker som erhålls från den av Ricci-flödet. Resonemang av detta slag kallas "maximumprincipen" för Ricci-flödet. $K$ $x(0)\in K$ $x(t)\in K$ $t\geq 0$ $K$

De invarianta uppsättningarna är

Kurvaturtensorer med positiv skalär krökning
Krökningstensorer med positiv krökningsoperator
I det tredimensionella fallet, krökningstensorer med positiv Ricci-kurvatur

Dimension 3

I fallet när dimensionen av utrymmet är lika med 3, för var och en kan välja en ram , där diagonaliserar i grunden , , , säg, $x$ $t$ $\{e_{t}^{i}\}$ ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t))$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2))$ ${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3))$ ${\displaystyle e_{3}\wedge e_{1))$

\mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix)).

Sedan

Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.

Historik

Ricci-flödesforskning initierades av Hamilton i början av 1980-talet. Flera släta sfärsatser har bevisats med Ricci-flöden .

Genom att använda Ricci-flöden i hans artiklar [1] , publicerade från 2002 till 2003 , lyckades Perelman bevisa Thurston-förmodan , och därigenom utföra en fullständig klassificering av kompakta tredimensionella grenrör , och bevisa Poincaré-förmodan . [2]

Anteckningar

↑ Se artiklar av Grigory Perelman i bibliografin.
↑ http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf Arkiverad 21 januari 2021 på Wayback Machine "Denna gissning formulerades av Henri Poincaré [58] 1904 och har varit öppen fram till Perelmans senaste arbete. ... Perelmans argument vilar på en grund som byggdes av Richard Hamilton med sin studie av Ricci-flödesekvationen för Riemannska mått.”.

Litteratur

Hamilton, RS Tre grenrör med positiv Ricci-kurvatur // J. Diff. Geom. 17, 255-306, 1982.
Hamilton, RS Fyra grenrör med positiv krökning // J. Diff. Geom. 24, 153-179, 1986.
Perelman, Grisha (11 november 2002), Entropiformeln för Ricci-flödet och dess geometriska tillämpningar, arΧiv : math.DG/0211159 [math.DG].
Perelman, Grisha (10 mars 2003), Ricci-flöde med kirurgi på tre grenrör, arΧiv : math.DG/0303109 [math.DG].
Perelman, Grisha (17 juli 2003), ändlig utsläckningstid för lösningarna till Ricci-flödet på vissa tre grenrör, arΧiv : math.DG/0307245 [math.DG].
Bruce Kleiner, John Lott: Anteckningar och kommentarer till Perelmans Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008.
J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizing Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.
Chow, Bennett, Peng Lu och Lei Ni. Hamiltons Ricci-flöde. — American Mathematical Soc., 2006.