Feynman styr

Feynmans regler i kvantfältteorin är reglerna för överensstämmelse mellan bidragen från en viss ordning av störningsteori till matriselementen i spridningsmatrisen och Feynman-diagrammen. Den regelbundna härledningen av Feynmans regler är baserad på tillämpningen av Wicks sats för kronologiska produkter på fältoperatörernas kronologiska produkter, genom vars integraler bidragen till spridningsmatrisen uttrycks. I Feynmans regler spelar kvantfältens propagatorer en central roll , lika med deras kronologiska parningar, det vill säga vakuumförväntningar från parade kronologiska produkter:

u_{a}(x)u_{b}(y)=\langle Tu_{a}(x)u_{b}(y)\rangle _{0}.

som också är lika med kausal Greens funktioner för dessa fält:

u_{a}(x)u_{b}(y)=i\delta _{a,b}\Delta _{a}^{c}(xy).

Tillsammans med propagatorerna , som i Feynman-diagram motsvarar linjerna som förbinder punkterna x och y, och som helt karakteriserar de interagerande fälten, inkluderar Feynman-reglerna element som beskriver interaktionsmekanismen och återspeglar strukturen av interaktionen Lagrangian av kvantfältet modell som övervägs. $i\Delta(xy)$

Det finns två typer av Feynman-regler

regler i koordinatrepresentationen, utifrån vilka man kan associera diagram med bidrag till S-matrisen uttryckt i termer av operatörsfältfunktioner
mer användbara är Feynmans regler i momentumrepresentationen, som direkt tjänar till att konstruera matriselementen för övergångar mellan fysiska. tillstånd kännetecknade, tillsammans med andra kvanttal, av värdena för partiklarnas 4-momenta.

I det följande kommer termen "Feynmans regler" att användas för att referera till Feynmans regler i momentumrepresentationen.

I denna representation, istället för ovanstående uttryck, används deras Fourierbilder , som på Feynman-diagrammet motsvarar inre linjer längs vilka partiklar med momentum p verkar röra sig . Platserna där linjerna möts - hörnen - beskriver partiklarnas växelverkan. Därför, enligt Feynman-reglerna, motsvarar hörnen faktorer i matriselementen, som förmedlar strukturen för interaktionen Lagrangians . Som en illustration listar tabellen överensstämmelsereglerna för kvantelektrodynamik i den diagonala (annars Feynman) mätaren för det elektromagnetiska fältet. $\Delta _{a}(p)$

Feynmans regler för kvantelektrodynamik

	Diagramelement		Faktor i S-matriselement
	titel	bild	Faktor i S-matriselement
ett	Vertex		$(2\pi )^{4}ie\gamma ^{\mu }\delta ^{(4)}(p+kp')$
2	Intern fotonlinje		${\frac {1}{(2\pi )^{4}i}}{\frac {\varepsilon _{\mu ,\nu }}{-k^{2}}}$
3	Intern elektron-positron linje		${\frac {1}{(2\pi )^{4}i}}{\frac {m+{\hat {p}}}{m^{2}-p^{2}}}{ \hat {p}}=\gamma ^{\mu }\rho _{\mu }$
fyra	Extern fotonlinje		${\frac {(e^{\alpha }(k))_{\mu }}{(2\pi )^{3/2}{\sqrt {2k_{0}}}}}$
5	Extern utgående elektronisk linje		$(2\pi )^{-3/2}{\vec {v_{\sigma }}}(\rho )$
6	Extern utgående linje		$(2\pi )^{-3/2}{\vec {v_{\rho }}}(\rho )$
7	för att konstruera bidraget av den n :te ordningen i e till matriselementet i en given process, bör man rita alla diagram som innehåller exakt n hörn, som förbinder deras inre linjer och en given uppsättning yttre linjer, totalt bestämt av initiala och slutliga tillstånd av processen i fråga. I det här fallet bör man komma ihåg att riktningarna som anges av pilarna på de elektroniska linjerna motsvarar positronens rörelse mot pilarnas riktning
åtta	vart och ett av dessa diagram enligt korrespondensreglerna från Tabell. genom att multiplicera faktorerna från den högra kolumnen, ordnade efter rörelse längs elektronlinjerna, tilldelas ett uttryck, som sedan måste integreras över 4-momenta och summeras över alla index för alla interna. rader;
9	om det finns slutna elektroniska slingor i diagrammet måste hela uttrycket multipliceras med (- 1) l $l$
tio	om diagrammet har en topologisk symmetri av k: te ordningen, det vill säga du kan ordna om k hörn utan att ändra diagrammets topologi, så ska du lägga till faktorn (k!) −1
elva	om det finns identiska partiklar i det initiala eller slutliga tillståndet , bör en lämplig symmetriisering utföras.

Uttrycket i den första raden i tabellen med överensstämmelseregler motsvarar strukturen för interaktionen Lagrangian , förutom faktorn , som tar hänsyn till det faktum att n :te ordningens bidrag till S-matrisen innehåller faktorn : ${\mathcal {L}}(x)=e\psi (x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu}(x)$ $i$ $i^{n}$

S_{n}\approx {\frac {i^{n}}{n!)}}\int {T\left({\mathcal {L}}(x_{1})...{\ mathcal {L}}(x_{n})\right)}dx_{1}...dx_{n}.

De nästa två raderna innehåller fältförökare , och sedan visas fotonpolarisationsvektorn och icke-kvantiserade Dirac-spinorer i överensstämmelsereglerna , som är lösningar av den fria Dirac-ekvationen och motsvarar elektroner (och/eller positroner) i initial- och sluttillståndet . $e^{\alpha }(k)$ ${\vec {v}}(\rho ),v(p)$

Applikationsexempel

Genom att använda ovanstående Feynman-regler får vi matriselementet för processen e − + e − → e − + e − (det vill säga Möller-spridning av elektroner) i den lägsta, näst i e , ordningen av störningsteorin. Det enda diagrammet är det som visas i fig. 6. Med hjälp av momentanteckningen som introduceras i denna figur antar vi att elektronernas momenta i initialtillståndet är lika med p 1 och p 2 , och elektronerna i sluttillståndet har momenta - q 1 , q 2 (i detta fall naturligtvis q10 < 0, q20 < 0 ) . Med hjälp av reglerna (1), (2), (5), (6) och (8), finner vi:

M(p_{1},p_{2},-q_{1},-q_{2})={\frac {e^{2}}{i(2\pi )^{2}} }\delta (p_{1}+p_{2}+q_{1}+q_{2}){\frac {g_{\mu ,\nu }}{(p_{1}+q_{1})^ {2}}}{\vec {v_{\sigma }}}(-q_{1})\gamma ^{\mu }v_{\rho }(p_{1})

{\vec {v_{\kappa }}}(-q_{2})\gamma ^{\nu }v_{\lambda }(p_{2}).

Enligt regel (11) bör detta uttryck också vara antisymmetriserat med avseende på elektronerna i initial- och sluttillståndet.

Från relativistisk kvantfältteori överförs metoden för Feynman-diagram och Feynman-regeln direkt till kvantstatistik vid noll temperatur och kan enkelt formuleras för störningsteori vid en ändlig temperatur.

Se även

Feynman-diagram

Litteratur

Feynman RP Space-time approach to quantum electrodynamics // Phys. Rev., 1949, v. 76 , sid. 769
Feynman R. Quantum electrodynamics / Per. från engelska. - M., 1964 djvu-bokformat
Bilenkiy S. M. Introduktion till Feynmans diagramteknik. - M., 1971
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Kvantfält. - 2:a uppl. - M., 1993.