Keynes-Ramsey regel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 maj 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Keynes-Ramsey- regeln är regeln för optimalt konsumentbeteende i problemet med intertemporala val . Regeln beskriver den optimala konsumtionsbanan över tid för en given inkomstnivå, ränta på sparande och subjektiv diskonteringsränta [1] .

Keynes-Ramsey-regeln relaterar optimala konsumtionsnivåer i två angränsande tidsperioder. Därför beskriver den de optimala banorna för konsumentbeteende i dynamiska makroekonomiska modeller.

Ur en matematisk synvinkel är Keynes-Ramsey-regeln ett nödvändigt optimalitetsvillkor för ett optimalt kontrollproblem . Det är också känt som Euler-Lagrange-ekvationen [2] .

Historik

Keynes-Ramsey-regeln är uppkallad efter Frank Ramsey och hans mentor John Maynard Keynes . Regeln erhölls av Ramsey 1928 som ett resultat av att lösa den optimala sparmodellen. Därefter utvecklades denna modell i teorin om ekonomisk tillväxt och är nu känd som Ramsey-Kass-Kopmans-modellen [3] . Keynes hjälpte till att ge en ekonomisk tolkning av denna regel:

”Besparingar bör räcka för att nå eller tillfälligt närma sig mättnadspunkten (”happy point”), men det betyder inte att vi behöver spara alla våra inkomster. Ju mer vi sparar desto snabbare når vi mättnad, men desto mindre glädje får vi just nu, så vi måste välja mellan det ena och det andra. Mr. Keynes visade mig att regeln som styr mängden besparingar som krävs kan omedelbart utläsas från dessa överväganden .

Modern makroekonomi arbetar med mikrobaserade modeller , där det intertemporala problemet med konsumenternas val liknar det problem som formulerats av Ramsey. Det är det huvudsakliga sättet att beskriva konsumentbeteende, så Keynes-Ramsey-regeln i sina olika modifieringar är ett oumbärligt element som beskriver dynamiken i modeller.

Matematisk formulering av regeln i kontinuerlig tid

Keynes-Ramsey-regeln är formulerad som följande förhållande mellan tillväxttakten för konsumtionen (per capita) och skillnaden mellan den nuvarande marknadsräntan och koefficienten för intertemporal preferens:

{\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )

, där är tidsderivatan av konsumtion per capita, respektive är tillväxttakten (kontinuerlig) av konsumtion per capita per tidsenhet;

{\dot {c}}

{\frac {\dot {c}}{c}}

{\theta }=-{\frac {u''(c)}{u'(c)))c=-{\frac {MU'(c)}{MU(c)))c= -{\frac {dMU/MU}{dc/c}}

- elasticiteten hos marginell nytta med avseende på konsumtion, taget med motsatt tecken (det relativa måttet på Arrow-Pratt riskaversion );

r_{t}

- avkastningsräntan på tillgångar (den antas också vara lika med räntan på skulden) ;

\rho

är konsumentens intertemporala preferenskoefficient, .

\rho >0,\rho =const

Bakgrund och härledning av regeln i kontinuerlig tid

Först och främst antar modellen att den genomsnittliga individen maximerar en intertemporal nyttofunktion av följande form

U=\int _{0}^{{\infty }}u(c_{t})e^{{-\rho t}}dt

, var är individens konsumtion för tillfället ; är konsumentens intertemporala preferenskoefficient, .

c_{t}

t

\rho

\rho >0,\rho =const

Maximering av den intertemporala nyttofunktionen utförs med hänsyn till budgetbegränsningen som är förknippad med individens inkomst. Inkomst per tidsenhet bildas av löner och inkomst av tillgångar (sparande) till marknadsränta. Följaktligen representerar inkomst per tidsenhet minus konsumtion en ökning av tillgångar per tidsenhet. Således har budgetbegränsningen formen av en differentialekvation för tillgångar:

{\dot {a}}=r_{t}a_{t}+w-c_{t}

I det här fallet kommer Hamiltonian för optimeringsproblemet att vara lika med

H=u(c_{t})e^{-\rho t}+\lambda _{t}(r_{t}a_{t}+w-c_{t})

De nödvändiga optimalitetsförhållandena har formen:

{\partial H \over \partial c_{t}}=e^{-\rho t}u'(c_{t})-\lambda _{t}=0

{\displaystyle {\dot {\lambda _{t))}=-{\partial H \over \partial a_{t))=-\lambda _{t}r_{t))

Det första villkoret kan representeras som

\ln \lambda _{t}=\ln u'(c_{t})-\rho t

Genom att differentiera denna jämlikhet med avseende på tid får vi:

{\dot {\lambda _{t))}/\lambda _{t}=u''(c_{t})/u''(c_{t}){\dot {c_{t} }}-\rho =-\theta {\dot {c_{t}}}/c_{t}-\rho

Med hänsyn till att, enligt det andra villkoret: , får vi slutligen ${\displaystyle {\dot {\lambda _{t))}/\lambda _{t}=-r_{t))$

{\dot {c_{t))}/c_{t}={1 \over \theta }(r_{t}-\rho )

Detta resultat kommer inte att förändras om en konstant befolkningstillväxt och (eller) en ytterligare variabel som nyttofunktionen beror på (vanligtvis en individs "fritid" eller arbetsutbud) läggs till modellen.

Regelavledning i diskret tid

Tvåperiodsproblem

Konsumenten löser det intertemporala valproblemet genom att välja den optimala konsumtionsnivån i var och en av två perioder för en given inkomstnivå i varje period. Konsumentmålsfunktionen ser ut så här: $t=1,2$

U(C_{1},C_{2})=u(C_{1})+\beta u(C_{2})\to \max _{C_{1},C_{2))

var är nyttofunktionen ; — momentan (en period) nyttofunktion; - konsumtionsnivån under den första och andra perioden; — subjektiv rabattfaktor. $U(\cdot )$ $u(\cdot)$ ${\displaystyle C_{1},C_{2))$ $\beta$

Konsumentens budgetbegränsning ser ut så här:

C_{1}+{\frac {C_{2}}{1+r}}\leq Y_{1}+{\frac {Y_{2}}{1+r}}

var är inkomstnivån under den första och andra perioden; - räntan på sparande som fungerar som en diskonteringsränta . $Y_{1},Y_{2}$ $r$

Problemet löses med metoden med obestämda Lagrange-multiplikatorer . Lagrange-funktion för ett problem med en begränsning:

L=u(C_{1})+\beta u(C_{2})+\lambda {\Bigg (}C_{1}+{\frac {C_{2)){1+r)) -Y_{1}-{\frac {Y_{2}}{1+r}}{\Bigg )}\to \max _{C_{1},C_{2}}

Första ordningens optimalitetsvillkor (utan att ta hänsyn till budgetbegränsningen):

u'(C_{1})+\lambda =0

\beta u'(C_{2})+\lambda {\frac {1}{1+r))=0

Härifrån följer Keynes-Ramsey-regeln:

{\frac {u'(C_{1})}{u'(C_{2))}}=\beta (1+r)

Allmänt fall

Problemet kan generaliseras till fallet med en ändlig eller oändlig tidshorisont.

U=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})\to \max _{C_{t))

\sum _{t=0}^{T}{\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}\leq \sum _{t=0}^{T} {\frac {Y_{t}}{(1+r)^{t}}}

Problemet löses med metoden med obestämda Lagrange-multiplikatorer . Lagrange-funktion för ett problem med en begränsning:

L=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})+\lambda {\Bigg (}\summa _{t=0}^{T} {\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}-\sum _{t=0}^{T}{\frac {Y_{t}}{(1+r)^ {t}}}{\Bigg )}\to \max _{C_{t}}

Första ordningens optimalitetsvillkor (utan att ta hänsyn till budgetbegränsningen):

\beta ^{t}u'(C_{t})+\lambda {\frac {1}{(1+r)^{t))}=0,\quad t=0,1,. .,T

Genom att dela villkoren för närliggande ögonblick får vi Keynes-Ramsey-regeln i allmän form:

{\frac {u'(C_{t})}{u'(C_{t+1))}}=\beta (1+r)

Se även

Anteckningar

↑ Blanchard, Olivier Jean; Fischer, Stanley . Föreläsningar om makroekonomi (obestämd tid) . - Cambridge: MIT Press , 1989. - s. 41-43. - ISBN 0-262-02283-4 .
↑ Intriligator, Michael D. Matematisk optimering och ekonomisk teori . - Englewood Cliffs: Prentice-Hall , 1971. - P. 308-311 . — ISBN 0-13-561753-7 .
↑ Ramsey, FP En matematisk teori om besparing // Ekonomisk tidskrift : journal. - 1928. - Vol. 38 , nr. 152 . - s. 543-559 .
↑ Ramsey (1928 , s. 545)