Bogolyubov omvandling

Inom teoretisk fysik hittades Bogolyubov-transformationen 1958 av Nikolai Bogolyubov för att hitta lösningar på BCS-teorin i ett homogent system [1] [2] . Bogolyubov-transformationen används ofta för att diagonalisera Hamiltonians , vilket ger stationära lösningar till Schrödinger-ekvationen . Bogolyubov-transformationen är också viktig för att förstå Unruh-effekten , Hawking-strålning , parningseffekter inom kärnfysik.

Fallet med bosoner

Tänk på den kanoniska kommuteringsrelationen för bosonskapande och förintelseoperatorer

\left[{\hat {a)],{\hat {a}}^{\dolk }\right]=1~.

Vi definierar ett nytt operatörspar

{\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dolk }

{\hat {b}}^{\dolk }=u^{*}{\hat {a}}^{\dolk }+v^{*}{\hat {a}}~,

där den andra är hermitisk konjugat till den första.

Bogolyubov-transformationen är en kanonisk transformation som associerar operatörer med och operatörer . För att hitta villkor på konstanterna u och v under vilka transformationen är kanonisk, beräknar vi kommutatorn ${\hat {a}}$ ${\hat {a}}^{\dolk }$ ${\hat {b}}{\text{ och}}{\hat {b}}^{\dolk }$

\left[{\hat {b)),{\hat {b}}^{\dolk }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}} ^{\dolk },u^{*}{\hat {a}}^{\dolk}+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^ {2}-|v|^{2}\höger)\vänster[{\hat {a)],{\hat {a))^{\dolk }\höger].

Uppenbarligen är det villkor under vilket omvandlingen är kanonisk. Konstanterna u och v kan representeras som $\,|u|^{2}-|v|^{2}=1$

u=e^{i\theta _{1}}\operatörsnamn {ch} r

v=e^{i\theta _{2}}\operatörsnamn {sh} r~.

Fallet med fermioner

För anti-kommutator

\left\{{\hat {a)),{\hat {a}}^{\dolk }\right\}=1

samma transformation med u och v resulterar i

\left\{{\hat {b)),{\hat {b}}^{\dolk }\right\}=(|u|^{2}+|v|^{2})\ vänster\{{\hat {a)),{\hat {a}}^{\dolk }\höger\}

För att transformationen ska vara kanonisk kan u och v representeras som

u=e^{i\theta _{1}}\cos r\,\!

v=e^{i\theta _{2}}\sin r\,\!.

Anteckningar

↑ Valatin, JG (mars 1958). "Kommentarer om teorin om supraledning". Il Nuovo Cimento . 7 (6): 843-857. Bibcode : 1958NCim....7..843V . doi : 10.1007/ bf02745589 .
↑ Bogoljubov, N.N. (mars 1958). "Om en ny metod i teorin om supraledning". Il Nuovo Cimento . 7 (6): 794-805. Bibcode : 1958NCim....7..794B . doi : 10.1007/ bf02745585 .