Hankel transformation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 augusti 2019; kontroller kräver 12 redigeringar .

I matematik ges Hankel-transformen av ordningen för en funktion av formeln $\nu$ $f(r)$

F_{\nu}(k)=\int \limits _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu}(kr)r\,dr,

var är Bessel-funktionen av den första sortens ordning och . Den inversa Hankeltransformen av en funktion är uttrycket ${\displaystyle J_{\nu ))$ $\nu ,$ $\nu \geqslant -1/2$ $F_{\nu }(k)$

f(r)=\int \limits _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\,dk,

som kan kontrolleras med den ortogonalitet som beskrivs nedan.

Hankel-transformen är en integrerad transformation . Den uppfanns av Hermann Hankel och är även känd som Bessel-Fourier-transformen.

Omfattning

Hankeltransformen av en funktion är sann för alla punkter på intervallet där funktionen är kontinuerlig eller bitvis kontinuerlig med ändliga hopp, och integralen $f(r)$ $(0,\infty )$ $f(r)$

\int \limits _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr

ändlig.

Det är också möjligt att utöka denna definition (liknande Fourier-transformen ) till att inkludera några funktioner vars integral är oändlig (till exempel ). $f(r)=r$

Ortogonalitet

Bessel-funktionerna bildar en ortogonal bas med vikten : $r$

\int \limits _{0}^{\infty }J_{\nu}(kr)J_{\nu}(k'r)r\,dr={\frac {\delta (kk')} {k}}

för . $k,k'>0$

Hankel-transformation av vissa funktioner

$f(r)$	$F_{0}(k)$
$ett$	$\delta (k)/k$
$r$	$-1/k^{3}$
$r^{3}$	$9/k^{5}$
${\displaystyle r^{m))$	${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)))$ för udda m , $0$ för även m .
$e^{iar}$	${\displaystyle {\frac {-ia{\sqrt {k^{2}-a^{2)))){(k^{2}-a^{2})^{2))))$
$e^{a^{2}r^{2}/2}$	${\displaystyle {\frac {-e^{k^{2}/2a^{2))}{a^{2))))$

Se även

Fouriertransform

Länkar

Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5 .
Polyanin, A.D. och Manzhirov, A.V., Handbook of Integral Equations , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 .

Integrerade transformationer
Abel förvandla Bessel förvandlas Bushman förvandla Gegenbauer transformation Hilbert förvandla Kontorovich-Lebedev förvandling Laplace transformation Meyer förvandla Mehler-Fock förvandling Mellin transform Nerain transformation Radonomvandling Stieltjes förvandlas Fouriertransform Hankel transformation Hartley transformation