Bagarens kartläggning är en icke-linjär kartläggning av enhetens kvadrat på sig själv, som uppvisar ett kaotiskt beteende.
Namnet "bager display" kommer från dess likhet med degknådning .
För att få denna mappning, överväg en symbolisk sekvens av binära tecken (0 och 1) som är oändlig i båda riktningarna
…S - 2 , S -1 , SO ; S 1 , S 2 ,…Låt oss jämföra denna sekvens med två reella tal (i binär kod)
x = 0. S 1 S 2 S 3 ... y = 0. S 0 S -1 S -2 ...Eftersom förskjutningen av hela talet till vänster med en siffra i det binära systemet motsvarar multiplikation med 2, skiftet till höger motsvarar division med 2, och om man tar bråkdelen till att kassera den högsta siffran, är det lätt för att verifiera att när den symboliska sekvensen flyttas till vänster erhålls nya värden
x' = 2x mod 1 y' = 1/2 ( y + [2x])där [x] är heltal och (mod 1) är bråkdelen av x . Punkterna som erhålls genom att iterera avbildningen kallas punktens omloppsbana (x o , y o ) . Banans punkter kan identifieras med punkterna på enhetskvadraten.
Transformationen består av enhetlig komprimering av kvadraten med 2 gånger i vertikal riktning och sträckning i horisontell riktning. Därefter ska den högra halvan skäras av och läggas till vänster. Åtgärden för de två första iterationerna visas i figuren.
Uppenbarligen, om den första siffran efter semikolonet i teckensekvensen är 0, så ligger x i den vänstra halvan av kvadraten, och om 1, då i den högra. För en slumpmässig teckensekvens kommer punkterna i omloppsbanan att besöka den vänstra eller högra halvan av kvadraten slumpmässigt. Förekomsten av ett kontinuum av komplexa banor anses vara ett av kaosets kännetecken.
Kartans periodiska banor är lätta att hitta från den symboliska sekvensen. Så symboliska sekvenser som bara består av 0 och 1 motsvarar fixpunkter (x, y) = (0, 0) och (1, 1) . Den periodiska sekvensen (10) motsvarar en omloppsbana av två punkter (1/3, 2/3) och (2/3, 1/3) .
Alla x och y kan godtyckligt noggrant approximeras med binära sekvenser 0.X o …X n och 0.Y o …Y m , där n och m är tillräckligt stora. Därför kommer omloppsbanan för den periodiska sekvensen (Y m …Y o X o …X n ) att passera godtyckligt nära vilken punkt som helst i kvadraten. Det vill säga instabila periodiska banor bildar en överallt tät uppsättning.
Sträckning längs x -axeln leder till det faktum att vid varje iteration kommer avståndet i horisontell riktning mellan valfritt par nära punkter δx att öka med 2 gånger. Därför, efter ett visst antal iterationer (när δx 2 n blir mycket större än 1), kommer banorna att röra sig enhetligt över hela kvadraten.
Man tror att det initiala tillståndet för ett fysiskt system inte kan specificeras helt exakt, det vill säga det är alltid nödvändigt att överväga något (om än mycket litet) område med initiala förhållanden. Uppenbarligen, under kartläggningsiterationer, kommer vilket utvalt område som helst att förvandlas till en samling smala horisontella ränder, som jämnt täcker enhetsrutan. Efter en sådan blandning är det meningslöst att prata om partikelns koordinat, men du kan beräkna sannolikheten för att den finns i en given punkt (för en given mappning kommer alla punkter i kvadraten att vara lika sannolika). Bakarens transformation är reversibel, när den itererar i motsatt riktning kommer alla områden att delas upp i smala vertikala ränder och blandas runt hela torget.
En oändlig slumpmässig symbolisk sekvens (någonstans i oändligheten) innehåller nödvändigtvis vilken sträng som helst Y m …Y o X o …X n (se #Instabila periodiska banor ). Därför passerar en sådan punkts omloppsbana godtyckligt nära varje punkt i kvadraten, och medelvärdesberäkning över omloppsbanan ("tid") kan ersättas med medelvärdesberäkning över ensemblen (den så kallade ergodiska hypotesen ).