Separationsprincipen

Principen om separabilitet (eller principen om separabilitet ) är en av principerna för bevis i matematik, baserad på det faktum att vissa icke-korsande mängder kan separeras på något sätt i rymden. Eftersom principen om separerbarhet endast är en princip (och inte ett axiom ), kräver den bevis på giltigheten av ansökan i varje specifikt fall.

Tillämpningen av principen om separerbarhet är i huvudsak baserad på uppfyllandet av separerbarhetens axiom för ett givet utrymme .

Separerbarhet i det euklidiska rummet

I ett ändligt dimensionellt euklidiskt rum fungerar principen om separerbarhet alltid, i den meningen att det för två slutna disjunkta uppsättningar finns en yta som delar upp rummet i två disjunkta delar så att varje uppsättning helt tillhör en av dessa delar. $\mathbb {R} ^{n}$

Separerbarhet i ett Banach-utrymme

I funktionella (särskilt Banach ) utrymmen är det ganska svårt att garantera separerbarheten av godtyckliga uppsättningar. Men i vissa fall löses problemet ganska enkelt. Till exempel:

Alla två icke-korsande konvexa uppsättningar , varav den ena har ett icke-tomt inre, kan separeras med ett hyperplan .
Alla två disjunkta slutna konvexa uppsättningar, varav en är kompakt, kan starkt separeras av ett hyperplan.

Relaterade definitioner

Mängder A och B i ett Banach-utrymme sägs vara separerbara om det finns ett funktionellt p så att för någon , $a\i A$ $b\i B$

\langle p,a\rangle \leq \langle p,b\rangle

Mängder A och B i ett Banach-utrymme sägs vara starkt separerbara om det finns ett funktionellt p så att för någon , $a\i A$ $b\i B$

\langle p,a\rangle <k<\langle p,b\rangle ,\,k\in {\mathcal {R))

Applikation

Principen om separerbarhet används för att bevisa många starka geometriska påståenden. I synnerhet, med dess hjälp, underbyggs grundprincipen och Fenchel-Moro-satsen .

Se även

Litteratur

Polovinkin E. S., Balashov M. V. Element av konvex och starkt konvex analys. - M . : Fizmatlit , 2004. - 416 s - ISBN 5-9221-0499-3