Gauss cirkel problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 april 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Gausscirkelproblemet är problemet med att bestämma antalet punkter i ett heltalsgitter som faller in i en cirkel med radie r centrerad vid origo. Den första framgången med att lösa detta problem gjordes av Gauss , och problemet är uppkallat efter honom.

Problem

I en cirkel vid med en radie centrerad vid origo , är det nödvändigt att bestämma antalet punkter inuti cirkeln som har formen ( m , n ), där m och n är heltal. Eftersom ekvationen för en cirkel i kartesiska koordinater ges av formeln: x 2 + y 2 = r 2 , blir den ekvivalenta formuleringen av problemet frågan: hur många par heltal m och n uppfyller olikheten $\mathbb {R} ^{2}$ $r\geqslant 0$

m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.

Om vi för ett givet r anger det önskade värdet med N ( r ), så ger följande lista värdena på N ( r ) för värden med en heltalsradie r mellan 0 och 10:

1, 5 , 13 , 29 , 49, 81 , 113 , 149 , 197 , 253, 317 ( OEIS -sekvens A000328 ).

Gränser för värden och hypoteser

Eftersom arean av en cirkel med radien r ges av π r 2 , skulle man förvänta sig att antalet punkter skulle vara runt π r 2 . Faktum är att värdet är något större än detta värde med någon korrigering E ( r )

N(r)=\pi r^{2}+E(r)

Sökandet efter den övre gränsen för denna korrigering är kärnan i problemet.

Gauss visade [1] det

E(r)\leqslant 2{\sqrt {2}}\pi r.

Hardy [2] och, oberoende, Edmund Landau fann ett mindre gränsvärde genom att visa det

E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),

i o-liten notation . Det finns en hypotes [3] att det sanna värdet är

E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).

Om vi skriver om det sista uttrycket som , då är de nuvarande gränserna för talet t ${\displaystyle \|E(r)\|\leqslant Cr^{t))$

{\frac {1}{2}}<t\leqslant {\frac {131}{208}}=0{,}6298\ldots ,

där den nedre gränsen härleddes av Hardy och Landau 1915, och den övre gränsen bevisades av Martin Huxley 2000 [4] .

2007 bidrog Sylvain Cappell och Julius Shaneson med ett papper till arXiv som innehöll ett bevis på gränsen [5] . $O(r^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })$

Exakt representation

Värdet på N ( r ) kan representeras som summan av vissa sekvenser. Om du använder funktionen avrundning nedåt kan värdet uttryckas som [6]

N(r)=1+4\summa _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\ rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).

Representationen med funktionen r 2 ( n ), som definieras som antalet sätt att representera talet n som summan av två kvadrater, ser mycket enklare ut. I det här fallet [1]

N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).

Generaliseringar

Även om den initiala formuleringen av problemet talade om heltalsgitter i en cirkel, finns det ingen anledning att bara uppehålla sig vid cirkeln. Du kan ställa in uppgiften att hitta antalet gitterpunkter i andra figurer eller koner . Dirichlets "Divisor Problem" motsvarar detta problem när cirkeln ersätts av en hyperbel [3] . Du kan också utöka problemet till högre dimensioner och prata om antalet punkter inuti en n-dimensionell sfär eller annat objekt. Man kan överge den geometriska representationen av problemet och övergå till diofantiska ojämlikheter.

Cirkelproblemet för relativt primtal

En annan generalisering kan vara beräkningen av antalet coprime heltalslösningar m och n i ekvationen

m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.

Detta problem är känt som cirkelproblemet för coprimtal eller cirkelproblemet för primitiva tal [7] Om vi betecknar antalet sådana lösningar med V ( r ), så är V ( r ) för små heltalsvärden med radien r

0, 4 , 8 , 16 , 32 , 48 , 72 , 88 , 120 , 152, 192, ... sekvens A175341 i OEIS .

Med samma idéer som för det vanliga gaussiska problemet, och utifrån det faktum att sannolikheten för att två tal är coprima är 6/ π 2 , är det relativt lätt att visa att

V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).

Som i den vanliga inställningen är problemet för relativt primtal att minska exponenten i korrigeringen. För närvarande är den mest kända exponenten , om vi accepterar Riemanns hypotes [7] . Utan att acceptera Riemann-hypotesen är den bästa övre gränsen ${\tfrac {221}{304}}+\epsilon$

V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r ^{2})^{-1/5}))

för någon positiv konstant c [7] .

I synnerhet är gränserna för formkorrigeringen för någon okända , om inte Riemann-hypotesen accepteras. $1-\epsilon$ $\epsilon > 0$

Se även

siffrors geometri

Anteckningar

↑ 12 G.H. _ Hardy, Ramanujan: Tolv föreläsningar om ämnen som föreslagits av hans liv och arbete, 3:e upplagan. New York: Chelsea, (1999), s.67.
↑ G.H. Hardy, Om uttrycket av ett tal som summan av två kvadrater , Quart. J Math. 46 , (1915), sid. 263-283.
↑ 12 R.K. _ Guy, Unsolved problems in number theory, Tredje upplagan , Springer, (2004), s.365-366.
↑ MN Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function , Talteori för millenniet, II (Urbana, IL, 2000) s.275–290, A.K. Peters, Natick, MA, 2002, MR : 1956254 .
↑ S. Cappell och J. Shaneson, Några problem i talteori I: Cirkelproblemet , arXiv : math/0702613 , (2007).
↑ D. Hilbert och S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination , New York: Chelsea, (1999), s. 37-38.
↑ 1 2 3 J. Wu, On the primitive circle problem , Monatsh. Matematik. 135 (2002), sid. 69-81.

Länkar

Weisstein, Eric W. Gauss's Circle Problem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .