Wolstenholme primtal

I talteorin är ett Wolstenholms primtal vilket primtal som helst som uppfyller den starka jämförelsen från Wolstenholms sats . I det här fallet är den ursprungliga jämförelsen från Wolstenholms sats uppfylld av alla primtal utom 2 och 3. Wolstenholms primtal är uppkallade efter matematikern Joseph Wolstenholm , som först bevisade satsen på 1800-talet.

Intresset för dessa primtal uppstod på grund av deras koppling till Fermats sista sats .

Endast två Wolstenholm-primtal är kända, de är 16843 och 2124679 (sekvens A088164 i OEIS ). Det finns inga andra Wolstenholm-primtal mindre än 10 9 [1] .

Definitioner

Olösta problem i matematik : Finns det några andra Wolstenholm-primtal än 16843 och 2124679?

Wolstenholmes primtal kan definieras på flera likvärdiga sätt.

Genom binomialkoefficienter

Ett Wolstenholme primtal är ett primtal som uppfyller jämförelsen

där uttrycket på vänster sida betecknar binomialkoefficienten [2] . Jämför med Wolstenholmes sats , som säger att för varje primtal p  > 3 gäller följande jämförelse:

Genom Bernoulli nummer

Ett Wolstenholmsprimtal är ett primtal p som delar (utan rest) täljaren för Bernoullitalet B p −3 [3] [4] [5] . Således är Wolstenholme-primtalen en delmängd av de oregelbundna primtalen .

Genom oregelbundna par

Ett Wolstenholme primtal p  är ett primtal så att ( p , p -3) är ett oregelbundet par [6] [7] .

Genom övertonsnummer

Ett Wolstenholme primtal p  är ett primtal så att [8]

det vill säga att täljaren för övertonstalet är delbar med p 3 .

Sök och aktuell status

Sökandet efter Wolstenholms primtal började på 1960-talet och fortsätter än i dag. Det senaste resultatet publicerades 2007. Den första Wolstenholm prime 16843 hittades 1964, även om resultatet inte var explicit publicerat [9] . Fyndet från 1964 bekräftades sedan självständigt på 1970 -talet . Detta nummer förblev det enda kända exemplet på sådana siffror i nästan 20 år, tills upptäckten av den andra Wolstenholme prime 2124679 tillkännagavs 1993 [10] . Vid den tiden hittades upp till 1,2⋅10 7 inte ett enda Wolstenholmsnummer, förutom de två nämnda [11] . Gränsen höjdes senare till 2⋅10 8 av McIntosh 1995 [4] , medan Trevisan och Weber kunde nå 2,5⋅10 8 [12] . Det senaste resultatet registrerades 2007 — upp till 1⋅10 9 hittades inga Wolstenholm-primtal [13] .

Förväntat belopp

Det finns en gissning att det finns oändligt många Wolstenholme-primtal. Det antas också att antalet Wolstenholme-primtal som inte överstiger x måste vara av storleksordningen ln ln x , där ln betecknar den naturliga logaritmen . För varje primtal p  ≥ 5 är Wolstenholm-kvoten

Det är tydligt att p är ett Wolstenholme-primtal om och endast om W p  ≡ 0 (mod  p ). Från empiriska observationer kan vi anta att resten W p modulo p är likformigt fördelad på mängden {0, 1, ..., p -1}. Av dessa skäl bör sannolikheten att få en viss rest (t.ex. 0) vara runt 1/ p [4] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Wolstenholme prime  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  2. ↑ Cook, J.D. Binomialkoefficienter . Datum för åtkomst: 21 december 2010. Arkiverad från originalet den 29 januari 2013.
  3. ↑ Clarke & Jones, 2004 , sid. 553
  4. ↑ 1 2 3 McIntosh, 1995 , sid. 387.
  5. ↑ Zhao, 2008 , sid. 25
  6. ↑ Johnson, 1975 , sid. 114.
  7. ↑ Buhler et al. (1993) , sid. 152.
  8. ↑ Zhao, 2007 , sid. arton.
  9. ↑ Selfridge och Pollack publicerade den första Wolstenholm-premiären i Selfridge & Pollack, 1964 , sid. 97 (se McIntosh & Roettger, 2007 , s. 2092).
  10. ↑ Ribenboim, 2004 , sid. 23.
  11. ↑ Zhao, 2007 , sid. 25.
  12. ↑ Trevisan & Weber (2001) , sid. 283–284.
  13. ↑ McIntosh & Roettger (2007) , sid. 2092.

Litteratur

Länkar