Wolstenholmes sats

Wolstenholmes sats säger att för alla primtal är  jämförelsen

var  är den genomsnittliga binomialkoefficienten . Motsvarande jämförelse

Sammansatta tal som uppfyller Wolstenholms sats är okända , och det finns en hypotes om att de inte existerar. Primtal som uppfyller en liknande modulo-jämförelse kallas Wolstenholm-primtal .

Historik

Teoremet bevisades första gången av Joseph Wolstenholm [ sv 1862 . År 1819 bevisade Charles Babbage en liknande modulokongruens , vilket är sant för alla primtal p . Den andra formuleringen av Wolstenholms sats gavs av JWL Glaisher under inflytande av Lukas sats .

Som Wolstenholm själv sa, erhölls hans teorem genom ett par jämförelser med (generaliserade) övertonstal :

Enkel Wolstenholm

Ett primtal p kallas ett Wolstenholme primtal om och endast om :

Än så länge är endast 2 enkla Wolstenholms kända: 16843 och 2124679 (sekvens A088164 i OEIS ); resten är så prime, om de finns, är överlägsna .

Förmodligen beter sig det som ett pseudoslumptal som är likformigt fördelat i intervallet . Det antas heuristiskt att antalet Wolstenholme-primtal i intervallet uppskattas till . Av dessa heuristiska överväganden följer att nästa Wolstenholm-primtal ligger mellan och .

Liknande heuristiska argument säger att det inte finns några primtal för vilka jämförelsen görs modulo .

Bevis

Det finns flera sätt att bevisa Wolstenholms sats.

Kombinatoriskt-algebraiskt bevis

Här är Glashiers bevis med hjälp av kombinatorik och algebra .

Låt p  vara ett primtal, a , b  vara icke-negativa heltal. Låt , , vara mängden av a p element uppdelade i en ringar , med längden p . En grupp rotationer verkar på varje ring . Sålunda agerar gruppen på hela A. Låt B  vara en godtycklig delmängd av mängden A av b·p- element. Set B kan väljas på olika sätt. Varje bana i mängden B under verkan av gruppen innehåller element, där k  är antalet partiella skärningar av B med ringarna . Det finns banor med längden 1 och inga banor med längden p . Således får vi Babbages sats:

Att eliminera banor av längd , får vi

Bland andra sekvenser ger denna jämförelse i fall , det allmänna fallet för den andra formen av Wolstenholms sats.

Vi byter från kombinatorik till algebra och tillämpar polynomresonemang. Genom att fixa b , får vi en jämförelse med polynom i a på båda sidor, vilket är sant för alla icke-negativa a . Därför är jämförelsen sann för alla heltal a . I synnerhet för , får vi en jämförelse:

Eftersom det

sedan

För , vi avbryter senast 3 och beviset är komplett.

Liknande modulo jämförelse :

för alla naturliga tal är a , b sant om och endast om , , det vill säga om och endast om p  är ett Wolstenholmsprimtal.

Talteoretiskt bevis

Låt oss representera den binomiala koefficienten som ett förhållande mellan faktorer , avbryt p ! och avbryter p i binomialkoefficienten och flyttar täljaren till höger, får vi:

Den vänstra sidan är ett polynom i p , multiplicera parenteserna och i det resulterande polynomet kasta potenserna av p större än 3, får vi:

Vi tar också bort styrkan av p tillsammans med modulen och sedan till :

Lägg märke till att

Låt vara  en bijektion och en automorfism . Sedan

vilket betyder .

Till sist,

eftersom det

.

Därmed är satsen bevisad.

Generaliseringar

Ett mer allmänt påstående är också sant:

Omkastningen av ett teorem som en gissning

Påståendet omvänt till Wolstenholmes sats är en hypotes, nämligen om:

för k = 3 är n primtal. Detta värde på k är det minimum för vilket det inte finns några kända sammansatta jämförelselösningar:

Om ett sammansatt tal uppfyller jämförelsen, så följer det inte av detta att

Även om omkastningen av Wolstenholms sats är sann, är det svårt att använda som ett primalitetstest , eftersom det inte finns något känt sätt att beräkna modulobinomialkoefficienten i polynomtid . Å andra sidan, är sant, kan omkastningen av Wolstenholms sats vara användbar för att konstruera en diofantisk representation av primtal (se Hilberts tionde problem ), såväl som till exempel Wilsons sats .

Se även

Anteckningar

Länkar