Wolstenholmes sats säger att för alla primtal är jämförelsen
var är den genomsnittliga binomialkoefficienten . Motsvarande jämförelse
Sammansatta tal som uppfyller Wolstenholms sats är okända , och det finns en hypotes om att de inte existerar. Primtal som uppfyller en liknande modulo-jämförelse kallas Wolstenholm-primtal .
Teoremet bevisades första gången av Joseph Wolstenholm [ sv 1862 . År 1819 bevisade Charles Babbage en liknande modulokongruens , vilket är sant för alla primtal p . Den andra formuleringen av Wolstenholms sats gavs av JWL Glaisher under inflytande av Lukas sats .
Som Wolstenholm själv sa, erhölls hans teorem genom ett par jämförelser med (generaliserade) övertonstal :
Ett primtal p kallas ett Wolstenholme primtal om och endast om :
Än så länge är endast 2 enkla Wolstenholms kända: 16843 och 2124679 (sekvens A088164 i OEIS ); resten är så prime, om de finns, är överlägsna .
Förmodligen beter sig det som ett pseudoslumptal som är likformigt fördelat i intervallet . Det antas heuristiskt att antalet Wolstenholme-primtal i intervallet uppskattas till . Av dessa heuristiska överväganden följer att nästa Wolstenholm-primtal ligger mellan och .
Liknande heuristiska argument säger att det inte finns några primtal för vilka jämförelsen görs modulo .
Det finns flera sätt att bevisa Wolstenholms sats.
Här är Glashiers bevis med hjälp av kombinatorik och algebra .
Låt p vara ett primtal, a , b vara icke-negativa heltal. Låt , , vara mängden av a p element uppdelade i en ringar , med längden p . En grupp rotationer verkar på varje ring . Sålunda agerar gruppen på hela A. Låt B vara en godtycklig delmängd av mängden A av b·p- element. Set B kan väljas på olika sätt. Varje bana i mängden B under verkan av gruppen innehåller element, där k är antalet partiella skärningar av B med ringarna . Det finns banor med längden 1 och inga banor med längden p . Således får vi Babbages sats:
Att eliminera banor av längd , får vi
Bland andra sekvenser ger denna jämförelse i fall , det allmänna fallet för den andra formen av Wolstenholms sats.
Vi byter från kombinatorik till algebra och tillämpar polynomresonemang. Genom att fixa b , får vi en jämförelse med polynom i a på båda sidor, vilket är sant för alla icke-negativa a . Därför är jämförelsen sann för alla heltal a . I synnerhet för , får vi en jämförelse:
Eftersom det
sedan
För , vi avbryter senast 3 och beviset är komplett.
Liknande modulo jämförelse :
för alla naturliga tal är a , b sant om och endast om , , det vill säga om och endast om p är ett Wolstenholmsprimtal.
Låt oss representera den binomiala koefficienten som ett förhållande mellan faktorer , avbryt p ! och avbryter p i binomialkoefficienten och flyttar täljaren till höger, får vi:
Den vänstra sidan är ett polynom i p , multiplicera parenteserna och i det resulterande polynomet kasta potenserna av p större än 3, får vi:
Vi tar också bort styrkan av p tillsammans med modulen och sedan till :
Lägg märke till att
Låt vara en bijektion och en automorfism . Sedan
vilket betyder .
Till sist,
eftersom det
.Därmed är satsen bevisad.
Ett mer allmänt påstående är också sant:
Påståendet omvänt till Wolstenholmes sats är en hypotes, nämligen om:
för k = 3 är n primtal. Detta värde på k är det minimum för vilket det inte finns några kända sammansatta jämförelselösningar:
Om ett sammansatt tal uppfyller jämförelsen, så följer det inte av detta att
Även om omkastningen av Wolstenholms sats är sann, är det svårt att använda som ett primalitetstest , eftersom det inte finns något känt sätt att beräkna modulobinomialkoefficienten i polynomtid . Å andra sidan, är sant, kan omkastningen av Wolstenholms sats vara användbar för att konstruera en diofantisk representation av primtal (se Hilberts tionde problem ), såväl som till exempel Wilsons sats .