Motsatt sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 september 2017; kontroller kräver 3 redigeringar .

En motsatt sats är ett påstående där villkoret och slutsatsen av den ursprungliga satsen ersätts av deras negationer . Varje teorem kan uttryckas i form av en implikation , där premissen är satsens tillstånd och konsekvensen är satsens slutsats. Då är satsen skriven i formen motsatt till den [1] . Här är negationen av , är negationen av . Beviset för nödvändigheten och tillräckligheten av satsens villkor för dess slutsats reduceras till beviset för en av de två motsatta satserna ( och ; och ) eller en av de två omvända satserna ( och ; och ) [2] . $A\högerpil B$ $A$ $B$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ $\overline {A}$ $A$ ${\overline {B}}$ $B$ $A$ $A\högerpil B$ $B$ $A\högerpil B$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ $B\Rightarrow A$ ${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$ $A\högerpil B$ $B\Rightarrow A$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ ${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$

Om villkoret och/eller slutsatsen av satsen är komplexa satser, så tillåter den motsatta satsen en uppsättning formuleringar som inte är likvärdiga med varandra. Till exempel, om villkoret för satsen är , och slutsatsen är : , så finns det fem former för den motsatta satsen: [3] $A$ $Y\Rightarrow Z$ $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$

${\overline {A}}\Rightarrow ({\overline {Y\Rightarrow Z)))$
${\overline {Y}}\Rightarrow ({\overline {A\Rightarrow Z)))$
${\overline {A\And Y}}\Rightarrow {\overline {Z}}$
$A\Rightarrow ({\overline {Y}}\Rightarrow {\overline {Z)))$
$Y\Rightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {Z)))$

Egenskaper

Den direkta satsen är ekvivalent med den motsatta satsen: $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B))\Rightarrow {\overline {A)))$
Den omvända satsen är ekvivalent med den motsatta räta linjen: [1] $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B)))$

Exempel

Pythagoras sats kan formuleras på följande sätt:

Om i en triangel med sidor av längd , och vinkeln motsatt sidan är rätt, då . $a$ $b$ $c$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Motsatsen till Pythagoras sats kan formuleras på följande sätt:

Om i en triangel med sidor av längd , och vinkeln mittemot sidan inte är en rät vinkel, då . $a$ $b$ $c$ $c$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq c^{2))$

Se även

Omvänd teorem

Anteckningar

↑ 1 2 Edelman, 1975 , sid. 33.
↑ Edelman, 1975 , sid. 34.
↑ Gradstein, 1965 , sid. 94.

Litteratur

Edelman S.L. Matematisk logik. - M . : Högre skola, 1975. - 176 sid.
Gradshtein I.S. Direkta och inversa satser. Element i logikens algebra. - M . : Nauka, 1965. - 127 sid.