Schmidts nedbrytning

Schmidt-nedbrytningen är en viss typ av uttryck för en vektor i tensorprodukten av två Hilbert-rum . I själva verket är det en omformulering av singularvärdesuppdelningen för matriser .

Har många tillämpningar inom kvantinformationsteori , såsom intrassling . Uppkallad efter Erhard Schmidt .

Formulering

Låta och vara Hilbert utrymmen i dimensioner och resp. Antag . Sedan, för vilken vektor som helst i tensorprodukten, finns det ortonormala uppsättningar av vektorer och sådant $H_1$ $H_2$ $m$ $n$ $m\geq n$ $w$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2))$ ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1))$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2))$

w=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i},

var finns reella icke-negativa tal. Dessutom bestäms multisetet unikt av . $\alpha_i$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\))$ $w$

Anteckningar

Uppsättningarna av vektorer och kallas Schmidt-baser för . ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1))$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2))$ $w$
Siffrorna kallas för Schmidt-koefficienterna för . ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\))$ $w$