Engel nedbrytning

Engelnedbrytningen av ett positivt reellt tal x är den enda icke-minskande sekvensen av positiva naturliga tal så att ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \))$

x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{ 2}a_{3}}}+\cdots .\;

Rationella tal har en ändlig Engel-expansion, och irrationella tal har en oändlig serieexpansion. Om x är rationell, ger dess Engel-expansion en egyptisk bråkrepresentation av x . Nedbrytningen är uppkallad efter matematikern Friedrich Engel , som studerade den 1913 .

En sönderdelning som liknar Engel-nedbrytningen , men med termerna omvända, kallas Peirce-nedbrytningen .

Engel expansion, fortsatt bråk och Fibonacci

Kraeikamp och Wu [1] märkte att Engel-expansionen kan skrivas som en stigande fortsatt bråkvariant :

x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3)))){\displaystyle a_{2)) }}{\displaystyle a_{1}}}}.

De hävdar att stigande fortsatta fraktioner som denna har studerats sedan tiden för Fibonaccis kulram (1202). Detta uttalande hänvisar till Fibonaccis komplexa bråknotation, där en sekvens av täljare och nämnare som delar samma egenskap representerar en stigande fortsatt bråkdel:

{\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h))={\dfrac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e} }}{f}}}{g}}}{h}}.

Om i denna notation alla täljare är 0 eller 1, som visas på vissa ställen i boken om kulramen , blir resultatet en Engel-expansion. Engelnedbrytningen som teknik beskrivs dock inte i boken.

Algoritm för beräkning av Engel-expansions

För att hitta Engel-expansionen för x lägger vi

u_{1}=x,

a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k))}\right\rceil ,

och

u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1

var är taket (det minsta heltal inte mindre än r ). $\left\lceil r\right\rceil$

Om för någon i , stoppar vi algoritmen. $u_{i}=0$

Exempel

För att hitta Engel-expansionen för nummer 1.175 kommer vi att utföra följande steg.

u_{1}=1{,}175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}175}}\right\rceil =1;

u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{ ,}175}}\right\rceil=6

u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}175\cdot 6-1=0{,}05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1 }{0{,}05}}\right\rceil =20

u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}05\cdot 20-1=0

Sekvensen har avslutats. På det här sättet,

1{,}175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}

och Engel-expansionen för 1.175 är {1, 6, 20}.

Engel nedbrytning av rationella tal

Varje positivt rationellt tal har en unik finit Engel-expansion. I Engel-sönderdelningsalgoritmen, om u i är ett rationellt tal x / y , då är u i +1 = (− y mod x )/ y . Således minskar varje steg täljaren i den återstående ui och processen att konstruera Engel-expansionen måste avslutas efter ett ändligt antal steg. Alla rationella tal har också en unik oändlig Engel-expansion: att använda likheten

{\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.

det sista talet n i den finita Engel-expansionen kan ersättas med en oändlig sekvens ( n + 1) utan att ändra värdet. Till exempel,

1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}.\;\;

Detta är analogt med det faktum att varje rationellt tal med en ändlig decimalrepresentation har en oändlig decimalrepresentation (se 0,(9) ). En oändlig Engel-expansion där alla element är lika är en geometrisk progression .

Erdős , Renyi och Szüsz frågade om icke-triviala gränser för längden av den finita Engel-expansionen av den rationella fraktionen x / y . Denna fråga besvarades av Erdős och Schallit som bevisade att antalet expansionstermer är O( y 1/3 + ε ) för alla ε > 0 [2] [3] .

Engel expansion för några välkända konstanter

\pi

= {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...} (sekvens A006784 i OEIS )

{\sqrt {2}}

= {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...} (sekvens A028254 i OEIS )

e

= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...} (sekvens A000027 i OEIS )

e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;

Fler Engel-expansioner hittar du här .

Tillväxthastigheten för nedbrytningselement

Koefficienterna a i för Engel-expansionen har som regel exponentiell tillväxt . Närmare bestämt, för nästan alla tal i intervallet (0,1), finns gränsen och är lika med e . Däremot är delmängden av intervallet som detta inte gäller tillräckligt stor så att dess Hausdorff-dimension är en [4] ] . ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{1/n))$

Samma typiska tillväxt ses i termerna som genereras av den giriga algoritmen för egyptiska bråk . Men uppsättningen av reella tal i intervallet (0,1), vars Engel-expansion sammanfaller med deras expansion med den giriga algoritmen, har måttet noll och Hausdorff-dimensionen 1/2 [5] .

Anteckningar

↑ Kraaikamp, Wu, 2004 .
↑ Erdős, Renyi, Szüsz, 1958 .
↑ Erdős, Shallit, 1991 .
↑ Wu, 2000 , Enligt Wu beror resultatet på gränsen e lika för nästan alla tal på Janos Galambos.
↑ Wu, 2003 .

Litteratur

F. Engel. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner i Marburg. - 1913. - S. 190-191.
T.A. Pierce. Om en algoritm och dess användning för att approximera rötter till algebraiska ekvationer // Am. Matematik. En gång i månaden. - 1929. - T. 36 , nr 10 . - S. 523-525 . — .
Paul Erdős, Alfred Rényi, Peter Szüsz. Om Engels och Sylvesters serie // Ann. Univ. sci. Budapest. Eötvös Sect. Math.. - 1958. - T. 1 . - S. 7-32 .
Paul Erdős, Jeffrey Shallit. Nya gränser för längden på finita Pierce och Engel-serien // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 1991. - Vol. 3 , nummer. 1 . - S. 43-53 . - doi : 10.5802/jtnb.41 .
J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni. Approximation till kvadratiska irrationer och deras Pierce-expansions // Fib. Quart .. - 1998. - T. 36 , nr 2 . - S. 146-153 .
Cor Kraaikamp, Jun Wu. På en ny fortsatt bråkexpansion med icke-minskande partialkvoter // Monatshefte für Mathematik. - 2004. - T. 143 , nr. 4 . - S. 285-298 . - doi : 10.1007/s00605-004-0246-3 .
Jun Wu. Ett problem med Galambos på Engel-expansions // Acta Arithmetica. - 2000. - T. 92 , nr. 4 . - S. 383-386 .
Jun Wu. Hur många poäng har samma Engel och Sylvester expansioner? // Tidskrift för talteori. - 2003. - T. 103 , nr. 1 . - S. 16-26 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00017-9 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Engel Expansion . MathWorld – En Wolfram webbresurs. (obestämd)