Distribuerad eftersläpning

Inom ekonometri är en distribuerad eftersläpningsmodell en tidsseriemodell där både det aktuella värdet av förklaringsvariabeln och värdena för denna variabel under tidigare perioder ingår i regressionsekvationen .

Det enklaste exemplet på en distribuerad lagmodell: . Mer allmänt, ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t))$

$y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+b_{2}x_{t-2}+...+b_{ p}x_{tp}+\varepsilon _{t}$

Här kan vi prata om den kortsiktiga effekten av förklaringsvariabeln på den förklarade ( ), såväl som den långsiktiga ( ) Denna modell är i sin tur ett specialfall av de autoregressiva och distribuerade lagmodellerna . $b_{0}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{p}b_{i))$

Exempel på makroekonomiska modeller där tidsfördröjningen är viktig:

konsumtionsfunktion
Skapande av pengar i banksystemet
Samband mellan penningmängd och prisnivå
Förskjutning mellan FoU- utgifter och produktivitet
"J-kurva" länkar mellan växelkursen och handelsbalansen
Investeringsacceleratormodell

Orsakerna till förekomsten av eftersläpningar kan delas in i tre grupper:

Teknologisk
institutionell
Psykologisk

Den största svårigheten för den empiriska utvärderingen av en distribuerad eftersläpningsmodell är närvaron av multikollinearitet , eftersom angränsande värden av samma dataserie i ekonomisk data vanligtvis är starkt korrelerade med varandra. Dessutom är det inte alltid möjligt att på förhand bestämma hur många eftersläpningsvariabler som ska ingå i modellen. Det finns till och med modeller med ett oändligt antal lagregressioner, vars koefficienter minskar oändligt (till exempel exponentiellt ). Det finns många speciella teknologier för att arbeta med distribuerade fördröjningar: Tinbergen och Alta-metoden är till exempel en "tummetod" för att bestämma det optimala antalet fördröjningsvariabler utan att införa ytterligare antaganden i modellen. Koika och Almons modeller introducerar tvärtom antaganden om lagkoefficienter, vilket gör det möjligt att förenkla deras uppskattning.

Tinbergens och Altas tillvägagångssätt

Tinbergens och Altas tillvägagångssätt gör det möjligt att hitta en balans mellan modellens noggrannhet (antalet inkluderade eftersläpningsvariabler) och kvaliteten på skattningen (multikolinjäritet). Det innebär sekventiell utvärdering av modeller:

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+\varepsilon _{t))$
${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t))$
$y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+b_{2}x_{t-2}+\varepsilon _{t}$
…

Att stoppa processen rekommenderas när någon av koefficienterna för eftersläpningsvariabler ändrar tecken eller blir statistiskt insignifikant, vilket är en konsekvens av förekomsten av multikollinearitet . Dessutom är det osannolikt, men möjligt, att det helt enkelt inte kommer att finnas tillräckligt många observationer för att ytterligare öka antalet eftersläpningsvariabler.

Koikas förvandling

Koik-transformen är en teknik som gör att man kan utvärdera en distribuerad fördröjningsmodell genom att helt enkelt anta att koefficienterna på fördröjningsvariabler minskar exponentiellt när fördröjningen ökar:

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{\infty }b\lambda ^{i}x_{ti}+\varepsilon _{t))$

I denna modell är det lätt att hitta medelfördröjningen såväl som medianfördröjningen . ${\frac {\lambda }{1-\lambda }}$ $log_{\lambda }{0.5}$

Subtraherar vi ekvationen för , multiplicerat med , från denna ekvation, får vi en enkel modell: $y_{{t-1}}$ $\lambda$

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+bx_{t}+\lambda y_{t-1}+\varepsilon _{t}-\lambda \varepsilon _{t-1))$

Denna modell kan enkelt uppskattas med den vanliga minsta kvadratmetoden utan förlust av frihetsgrader. Här finns dock en autokorrelation av den slumpmässiga termen ( c ), och ännu värre är den slumpmässiga termen korrelerad med den förklarande variabeln . För att utvärdera modellen rekommenderas det därför att använda metoden för instrumentella variabler eller att utvärdera den ursprungliga modellen med en icke-linjär minsta kvadratmetod. $\varepsilon _{t}-\lambda \varepsilon _{t-1}$ $\varepsilon _{t-1}-\lambda \varepsilon _{t-2}$ $y_{{t-1}}$

Koiks transformation illustrerar förhållandet mellan distribuerad fördröjning och autoregressiva modeller. Koiks modeller motsvarar två mycket använda teoretiska tillvägagångssätt för distribuerade eftersläpningar: den adaptiva förväntningsmodellen och den partiella/stock-justeringsmodellen.

Den adaptiva förväntningsmodellen

Den beroende variabeln antas vara en funktion av förklaringsvariabelns förväntade värde. Detta är typiskt för exempelvis inflationsmodeller .

${\displaystyle y_{t}=b_{0}+b_{1}x_{t}^{e}+\varepsilon _{t))$

Förväntningar bildas som ett vägt genomsnitt av tidigare förväntningar och det aktuella värdet av variabeln:

${\displaystyle x_{t}^{e}=(1-\lambda )x_{t-1}^{e}+\lambda x_{t))$

Algebraiska manipulationer leder till konstruktionen av en modell som sammanfaller i form med Koik-modellen:

$y_{t}=\lambda b_{0}+\lambda b_{1}x_{t}+(1-\lambda )y_{t-1}+(\varepsilon _{t}-(1- \lambda )\varepsilon _{t-1})$

Partiell tuning modell

Den partiella anpassningsmodellen antar ett långsiktigt förhållande:

${\displaystyle y_{t}^{*}=b_{0}+b_{1}x_{t}+\varepsilon _{t))$

Detta är till exempel typiskt för modeller för ekonomisk tillväxt, där potentiell produktion bestäms av efterfrågan. Variabeln som förklaras kan dock inte omedelbart anpassa sig till förändringar i den förklarande variabeln:

$y_{t}-y_{t-1}=\delta (y_{t}^{*}-y_{t-1})$

Den grundläggande skillnaden mellan partiella anpassningsmodeller och adaptiva förväntningar ligger alltså i vilken variabel som inte ändras omedelbart: den förklarande eller förklarande. Men deras funktionella form är liknande: efter transformationer får vi

${\displaystyle y_{t}=\delta b_{0}+\delta b_{1}x_{t}+(1-\delta )y_{t-1}+\delta \varepsilon _{t))$

Man kan se att här, i motsats till den adaptiva förväntningsmodellen, finns ingen korrelation av fel med varandra och med förklaringsvariabeln. Men valet av modell bör naturligtvis inte förklaras av bekvämligheten med dess bedömning, utan av de teoretiska premisserna som ligger till grund för fenomenet som studeras.

Lagi Almon

Genom att uppskatta modellen kan vi anta att koefficienten för fördröjningsvariabeln ändras i en viss mening smidigt, och approximera den med polynomet: . En linjär transformation av variabler gör att modellen kan uppskattas med de vanliga minsta kvadraterna, och antalet frihetsgrader kommer naturligtvis att vara större än när den utvärderas separat, om inte q<p. ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{p}b_{i}x_{ti}+\varepsilon _{t))$ $b_{i}=c_{0}+\sum _{j=1}^{q}c_{j}i^{j}$ $bi}$

$y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{p}(c_{0}+\summa _{j=1}^{q}c_{j}i^{ j})x_{ti}+\varepsilon _{t}=a_{0}+c_{0}(\summa _{i=1}^{p}x_{ti})+\summa _{j=1 }^{q}c_{j}(\summa _{i=1}^{p}x_{ti}i^{j})+\varepsilon _{t}=a_{0}+c_{0}z_ {0}+\summa _{j=1}^{q}c_{j}z_{j}+\varepsilon _{t}$

Genom att införa olika restriktioner (maximal grad, initiala och slutliga villkor) på polynomen kan man konstruera den mest tillfredsställande modellen. Detta tillvägagångssätt lämnar dock utrymme för specifikationsfel och subjektiv modellanpassning, eftersom det inte finns något statistiskt sätt att bestämma den erforderliga polynomformen.