Autoregressiv och distribuerad lagmodell

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 januari 2018; verifiering kräver 1 redigering .

Autoregressiv och distribuerad eftersläpningsmodell (ADL-modell, eng. autoregressive distributed lags ) är en tidsseriemodell där seriens nuvarande värden beror både på de tidigare värdena i denna serie och på de nuvarande och tidigare värdena av andra tidsserier. Modellen med en exogen variabel har formen: $ADL(p,q)$

y_{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{p}a_{i}y_{ti}+\sum _{j=0}^{q}b_{j} x_{tj}+\varepsilon _{t}

Modellen är en AR(p) autoregressiv modell (i allmänhet, möjligen med en exogen variabel utan lags), och modellen är en distribuerad lagmodell . $ADL(p,0)$ $ADL(0,q)$ $DL(q)$

Modellen är generaliserad till fallet med flera exogena variabler . I det här fallet är beteckningen av modellen möjlig , där är antalet exogena variabler, är antalet fördröjningar för den e variabeln som ingår i modellen. Generellt sett kan vi anta att alla exogena variabler ingår i modellen med samma antal fördröjningar, och uteslutningen av eventuell eftersläpning av vissa variabler innebär endast en begränsning av modellen. Därför används ibland beteckningen , - antalet exogena variabler, - antalet lags. Införandet av restriktioner för denna modells koefficienter leder till vissa variationer. I denna beteckning kommer den klassiska modellen att betecknas som . $x$ $ADL(p,q_{1},q_{2},\dots,q_{k})$ $k$ $q_{i}$ $i$ $ADL(p,q;k)$ $k$ $q$ $ADL(p,q)$ $ADL(p,q;1)$

I praktiken, för att utvärdera sådana modeller, används ofta Box-Jenkins metodik för att utvärdera autoregression och speciella tekniker för att förenkla uppskattningen av den distribuerade eftersläpningen.

Operatörsrepresentation

Med hjälp av fördröjningsoperatorn kan den autoregressiva modellen och den distribuerade fördröjningen skrivas på följande sätt: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

y_{t}=a_{0}+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})y_{t}+(\summa _{j=0} ^{q}b_{j}L^{j})x_{t}+\varepsilon _{t}

Eller i förkortad form:

a(L)y_{t}=a_{0}+b(L)x_{t}+\varepsilon _{t},~~a(L)=1-(\summa _{i=1 }^{p}a_{i}L^{i}),~~b(L)=(\summa _{j=0}^{q}b_{j}L^{j})

Om rötterna till det karakteristiska autoregressiva polynomet ligger utanför enhetscirkeln (i det komplexa planet) , så kan ADL-modellen representeras som en oändligt fördelad fördröjningsmodell: $a(z)$

y_{t}={\frac {a_{0}}{a(L)))+{\frac {b(L)}{a(L)))x_{t}+\varepsilon _{ t}

Om vi ersätter värdet 1 istället för eftersläpningsoperatorn i detta uttryck får vi en modell av ett långsiktigt beroende mellan variablerna och : $L$ $y$ $x$

y_{t}^{*}={\frac {a_{0}}{a(1)))+{\frac {b(1)}{a(1)))x_{t}^ {*}+\varepsilon _{t}={\frac {a_{0}}{1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}}}+{\frac {\sum _{ j=0}^{q}b_{j}}{1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}}}x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}

Koefficienten på den exogena variabeln kallas långtidsmultiplikatorn . Den meningsfulla tolkningen av detta är följande. Distribuerade eftersläpningsmodeller (DL-modeller) gör det möjligt att ta hänsyn till faktorers eftersläpande inverkan (tillsammans med den nuvarande). DL-modellens koefficienter kallas momentummultiplikatorer . De visar effekten av periodfördröjning på en endogen variabel. Flera eftersläpningsvärden för faktorn påverkar dock vid varje tidpunkt, därför är faktorns inflytandekoefficient (långsiktig multiplikator) på lång sikt lika med summan av impulsmultiplikatorer. Att lägga till den autoregressiva delen till den distribuerade fördröjningsmodellen gör det möjligt att, förutom den direkta påverkan, ta hänsyn till den indirekta, genom påverkan av tidigare värden för den beroende variabeln på dess framtida värden. Nämnaren i den långsiktiga multiplikatorformeln tar hänsyn till den autoregressiva ökningen av multiplikatoreffekten. $b_{j}$ $j$

Baserat på närvaron av en långsiktig modell kan ADL-modellen representeras i en något annorlunda form - i ECM-representationen ( engelsk error correction model - error correction model):

\triangle y_{t}=\sum _{i=1}^{p-1}\alpha _{i}\triangle y_{ti}+\summa _{j=0}^{q-1 }\beta _{j}\triangel x_{tj}-a(1)(y_{t-1}-{\frac {a_{0}}{a(1)))-{\frac {b(1 )}{a(1)}}x_{t-1})+\varepsilon _{t}

Uttrycket inom parentes reflekterar avvikelsen från det långsiktiga beroendet vid föregående tidpunkt. Resten av ekvationen speglar det kortsiktiga beroendet. Således är det i denna uppfattning tydligt att den kortsiktiga dynamiken korrigeras beroende på graden av avvikelse från det långsiktiga.

Exempel

Tänk på en modell : $ADL(1,1)$

y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t}

ECM-representationen av denna modell är:

\triangle y_{t}=b_{0}\triangle x_{t}+(1-a_{1})(y_{t-1}-{\frac {a_{0}}{1-a_ {1}}}-{\frac {b_{0}+b_{1}}{1-a_{1}}}x_{t-1})+\varepsilon _{t}

Kortsiktigt beroende uttrycks alltså av reaktionskoefficienten på en förändring av en faktor jämfört med föregående period. Detta svar är dock justerat för avvikelse från det långsiktiga sambandet mellan variabler. Den långsiktiga multiplikatorn i detta fall är lika med $b_{0}$ $(b_{0}+b_{1})/(1-a_{1})$

Autoregressiv och distribuerad lagmodell

Operatörsrepresentation

Exempel

Se även