Integralekvationens upplösningsmedel

Tänk på integralekvationen :

f(s)+\lambda\int\limits_a^b K(s,\;t)\varphi(t)\,dt=\varphi(s).\qquad(*)

Integralekvationens upplösning , eller dess upplösningskärna , är en sådan funktion av variabler och parameter att lösningen av ekvationen (*) representeras som: $\Gamma(s,\;t,\;\lambda)$ $s$ $t$ $\lambda$

u^*(s)=f(s)+\lambda\int\limits_a^b\Gamma(s,\;t,\;\lambda)f(t)\,dt.

Det får inte vara ett egenvärde för ekvationen (*). $\lambda$

Exempel

Låt ekvationen (*) ha en kärna , det vill säga att ekvationen själv har formen: $K(s,\;t)=s+t$

\varphi (s)+\lambda \int \limits _{0}^{1}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).

Då är dess upplösning funktionen

\Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t+\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}+st+{\dfrac {1} {3}}\right)}{1+\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.

Upplösning av en linjär operator

Låt vara en linjär operator . Då är dess resolvent en operatörsvärd funktion [1] $A$

{\displaystyle R(z)=(A-zE)^{-1))

var är identitetsoperatorn och är ett komplext tal från upplösningsmängden, det vill säga en sådan mängd att det finns en begränsad operator $E$ $z$ $R(z)$

Detta koncept används för att lösa den inhomogena Fredholm-ekvationen av det andra slaget .

Anteckningar

↑ En operatorvärderad funktion är en funktion vars värde är en operator.

Se även

Operatörsspektrum