Gratis arbete

En fri produkt av grupper är en grupp som genereras av element i dessa två grupper, utan några ytterligare relationer .

Ett fritt verk och betecknas vanligtvis med . $G_{1}$ $G_{2}$ $G_{1}*G_{2}$

Definitioner

Om grupper ges i termer av generatorer och relationer , då $G_{1}=\langle S_{1}|R_{1}\rangle$ $G_{2}=\langle S_{2}|R_{2}\rangle$ $G_{1}*G_{2}=\langle S_{1}\cup S_{2}|R_{1}\cup R_{2}\rangle$
- Denna definition medger också en naturlig generalisering till fallet med en fri produkt av valfritt antal grupper.

En fri produkt kan också definieras som en fiberad biprodukt för en trivial grupp i kategorin grupper. $G_{1}*G_{2}$ $G_{1}\amalg _{\{e\}}G_{2}$ $\{e\}$

Exempel

Den fria produkten är isomorf till den oändliga dihedriska gruppen . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2))$ ${\displaystyle D_{\infty ))$
En fri produkt är isomorf till en projektiv grupp . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3))$ $PSL(2,\mathbb {Z} )$
En gratis produkt av kopior är en gratis grupp med generatorer. $n$ $\mathbb {Z}$ $n$
Den Seifert-van Kampen satsen säger särskilt att om är ett topologiskt utrymme, och är två anslutna öppna uppsättningar så att skärningspunkten är helt enkelt ansluten, och , Då den grundläggande gruppen är den fria produkten av de grundläggande grupperna och ; det är $X$ $V,U\subset X$ $W=V\cap U$ $X=V\cup U$ $X$ $V$ $U$ $\pi _{1}X=\pi _{1}V*\pi _{1}U.$

Litteratur

Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. Moskva: Nauka, 1982.
Kostrikin A.I. Introduktion till algebra. Moskva: Nauka, 1977.
Kurosh A.G. Gruppteori . (3:e upplagan). Moskva: Nauka, 1967.
Hall M. Teori om grupper. M.: Förlag för utländsk litteratur, 1962.