Codecartes kvadrat
Codecartes square (även universell kvadrat ) är ett kategoriteoretiskt begrepp som är dubbelt med begreppet kartesisk kvadrat . Codecartes square är ett specialfall av colimit .
Generisk egenskap
Låt f : Z → X , g : Z → Y vara morfismer i kategorin C . Codecartes kvadrat för ett par morfismer ( f , g ) är en kommutativ kvadrat av följande form:
Dessutom är kodkärrtorget universellt bland objekt med denna egenskap. För alla objekt Q med morfismer j 1 , j 2 som kompletterar f , g till en kommutativ kvadrat, finns det en unik morfism u : P → Q som gör följande diagram kommutativt:
Ett objekt med morfismer i 1 , i 2 kallas en fibred coproduct ( foliated sum , amalgam , amalgamated sum , engelsk pushout ).
Som vilken universell konstruktion som helst, existerar inte nödvändigtvis en Codecartes-ruta, men om den gör det definieras den upp till isomorfism.
Exempel
- I kategorin uppsättningar är detta den disjunkta föreningen av X och Y , där element med en gemensam förbild i Z identifieras . Mer exakt, där ~ är den minsta ekvivalensrelationen så att i 1 ∘ f ( z ) ~ i 2 ∘ g ( z ) .
- Rymdlimningskonstruktionen är ett exempel på konstruktionen av fibrerade biprodukter i kategorin topologiska utrymmen . Mer detaljerat, om Z är ett delrum av Y och g : Z → Y är motsvarande inklusionsmappning , då kan man "limma" Y från X till Z genom att använda "matchmapping" f : Z → X . Det resulterande limmade utrymmet är den fiberförsedda samprodukten av X och Y.
- I kategorin Abeliska grupper kan man tala om en Codecartesian kvadrat som en direkt summa av Abelska grupper "med limning". Nämligen, om f och g är homomorfismer med en gemensam källa Z , så är en Codecartes-kvadrat en direkt summafaktorgrupp över undergruppen som genereras av alla element i formen ( f ( z ), − g ( z )) . Ungefär samma sak kan göras i kategorin moduler .
Litteratur
- Goldblatt R. Topoi. Kategorisk analys av logik = Topoi. Den kategoriska analysen av logik / Per. från engelska. V. N. Grishin och V. V. Shokurov, red. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 sid.
- McLane S. Kapitel 3. Universella konstruktioner och gränser // Kategorier för den arbetande matematikern = Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .