Anslutning (icke-kommutativ geometri)

Geometrin för kvantsystem (som icke-kommutativ geometri och supergeometri ) kan formuleras i algebraiska termer av moduler och algebror . Anslutningen på moduler generaliserar den linjära anslutningen på vektorbuntar , skriven som anslutningen på -modulen av sektioner . [ett] $E\to X$ $C^{\infty }(X)$ $E\to X$

Kommutativ geometri

Låt vara en kommutativ ring och vara en -modul. Det finns flera motsvarande definitioner av anknytning på . [2] Låta vara modulen av härledningar av ringen . En anslutning på en -modul definieras som en morfism av -moduler $A$ $P$ $A$ $P$ $D(A)$ $A$ $A$ $P$ $A$

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

så att första ordningens differentialoperatorer inte uppfyller Leibniz-regeln $\nabla _{u}$ $P$

\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.

En anslutning på en modul över en kommutativ ring finns alltid. Anslutningens krökning definieras som en nollordningens differentialoperator $\nabla$

R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.

På modulen för alla . $P$ $u,u'\in D(A)$

Om är en vektorbunt finns det en en-till-en-överensstämmelse mellan linjära anslutningar på och anslutningar på -modulen av sektioner av . I detta fall motsvarar den kovarianta differentialen för anslutningen på $E\to X$ $\Gamma$ $E\to X$ $\nabla$ $C^{\infty }(X)$ $E\to X$ $\nabla$ $E\to X.$

Supergeometri

Föreställningen om anslutning på en kommutativ ring överförs direkt till moduler genom övergraderade algebror . [3] Detta är fallet med superkopplingar i supergeometri på graderade grenrör och supervektorbuntar . Superkopplingar finns alltid. $\mathbb Z_2$

Icke-kommutativ geometri

Om är en icke-kommutativ ring, definieras anslutningar på vänster och höger -moduler på samma sätt som på moduler över en kommutativ ring. [4] Sådana kopplingar finns dock inte nödvändigtvis. $A$ $A$

Till skillnad från anslutningar på vänster och höger moduler uppstår ett problem med definitionen av anslutningar på bimoduler över icke- kommutativa ringar och . Det finns olika definitioner av sådana samband. [5] Här är en av dem. En anslutning på en -bimodul definieras som en morfism av bimoduler $RS$ $R$ $S$ $RS$ $P$

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

som uppfyller Leibniz-regeln

\nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S, \quad p\in P.

Se även

Anteckningar

↑ Koszul (1950)
↑ Koszul (1950), Mangiarotti (2000)
↑ Bartocci (1991), Mangiarotti (2000)
↑ Landi (1997)
↑ Dubois-Violette (1996), Landi (1997)

Litteratur

Koszul, J. , Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
Koszul, J. , Föreläsningar om fiberbuntar och differentialgeometri (Tata University, Bombay, 1960)
Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D. , The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
Dubois-Violette, M., Michor, P. , Anslutningar på centrala bimoduler i icke-kommutativ differentialgeometri, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
Landi, G. , An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint , iv+181 pages.
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Connections in Classical and Quantum Field Theory ( World Scientific , 2000) ISBN 981-02-2013-8
G. A. Sardanashvili , Moderna metoder för fältteori. 4. Geometri och kvantfält (URSS, 2000) ISBN 5-88417-221-4 .

Länkar

Sardanashvily, G. , föreläsningar om differentiell geometri för moduler och ringar (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515 (inte tillgänglig länk)