Symmetrisk tensor

I matematik och teoretisk fysik sägs en tensor vara symmetrisk med avseende på två index i och j om den inte ändras när dessa index byts ut:

T_{ij\dots} = T_{ji\dots}

Om tensorn inte ändras när något par av dess index permuteras, kallas en sådan tensor absolut symmetrisk .

Symmetrisering och antisymmetrisering

För vilken tensor U som helst , med komponenter , kan man konstruera en symmetrisk och antisymmetrisk tensor enligt regeln: $U_{ij\dots}$

$U_{(ij)\dots}=\frac{1}{2}(U_{ij\dots}+U_{ji\dots})$ (symmetrisk del),

$U_{[ij]\dots}=\frac{1}{2}(U_{ij\dots}-U_{ji\dots})$ (antisymmetrisk del).

Termen "del" betyder det $U_{ij\dots}=U_{(ij)\dots}+U_{[ij]\dots}$

För ett större antal index kan symmetriisering också definieras:

T_{(i_1i_2\dots i_r)} = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_r} T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_ {\sigma r))\

betecknas också (för fallet att det utförs över alla index) med symbolen : $\operatörsnamn{Sym}$

(\operatörsnamn{Sym}\,T)_{i_1i_2\dots i_r} = T_{(i_1i_2\dots i_r)}\

Men för expansionen av en rangtensor större än två visar det sig att endast absolut symmetriska och absolut antisymmetriska termer inte räcker.

Egenskaper

Exempel på absolut symmetriska tensorer

Rank 0 - skalär (vilken som helst),
Rank 1 — vektor/kovektor (valfri),
Placering 2:
- symmetrisk matris ,
- (kovariant) är den kvadratiska formen av .
Godtycklig rang n — tensorkraft n för vilken vektor/kovektor som helst (endast en av möjligheterna).

Det sista exemplet visar att, i motsats till det antisymmetriska fallet, kommer utrymmet för symmetriska tensorer att ha positiv dimension för ett godtyckligt stort antal symmetriska index.

Applikation

Symmetriska kovarianta tensorer uppstår från expansionen i en Taylor-serie av en funktion som ges på ett linjärt utrymme - en term av grad n är en symmetrisk n -linjär funktionell , det vill säga dess "koefficient" är en absolut symmetrisk tensor av rang n .

Inom kvantmekaniken beskriver en tensor symmetrisk i n index ett bosons n -partikeltillstånd . När ett tillstånd beskrivs av en vågfunktion , kan vågfunktionerna för många variabler betraktas matematiskt som oändligt dimensionella tensorer (varje argument motsvarar ett index). En symmetrisk funktion uppfyller ekvationen och på liknande sätt för fler variabler. $\psi(x,y)=\psi(y,x)$