Enkel homologi

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 april 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Simplex och komplex

En dimension simplex är ett konvext skrov av punktersom inte ligger iendimensionellt delrum. En 0-dimensionell simplexär en punkt, ett 1-dimensionelltsegment, en 2-dimensionelltriangel, en 3-dimensionelltetraeder, etc. Simplexet som genereras av en del av punkternakallas en yta av den stora simplexen. $k$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $(k-1)$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\rangle$ $\langle a_{i}\rangle$

Sedan introducerar vi begreppet ett förenklat komplex (med betoning på e). Ett komplex är en uppsättning förenklingar, med var och en av dessa komplex inkluderar alla dess ytor, och två valfria förenklingar har antingen inte en gemensam punkt alls, eller skär endast längs en hel yta av någon dimension, och bara längs en sida. Vanligtvis kräver de också att vilken punkt som helst i komplexet har en stadsdel som skär med högst ett ändligt antal förenklingar (den så kallade lokala ändligheten ). $K$

Kedjegrupp

Betrakta en graderad Abelisk grupp med heltalskoefficienter som genereras av komplexets förenklingar, den så kallade. en kedjegrupp som är en direkt summa av kedjegrupper av dimension . $C(K)$ $k:\;C_{k}(K)$

Simplexen anses ha en orientering, och simplexen kommer att anses vara lika om permutationen är jämn och har motsatt tecken om den är udda. $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $\langle a_{\sigma (0)},a_{\sigma (1)},...~a_{\sigma (k)}\rangle$ $\sigma$

Gränsoperator

Vi definierar operatorn för att ta den geometriska ytan $i$ :

$\langle a_{0},...~a_{i},...~a_{k}\rangle \to (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ , där betyder att -th vertex ska hoppas över. ${\hat {a_{i))}$ $i$

Operatören för att ta en geometrisk yta beror bara på simplexen själv, men inte på ordningen på de hörn som definierar simplexen.

För att göra detta räcker det att bevisa att operatören för att ta den -th ytan inte ändras när två hörn byts om (transponering). Om detta införlivande inte påverkar , är detta uppenbart. Om det ordnar om till -th plats, så har vi (låt till exempel ): $i$ $a_{i}$ $a_{i}$ $j$ $j<i$

{\begin{matrix}\langle a_{0},...~a_{j},...~a_{i},...~a_{k}\rangle =-\langle a_{0}, ...~a_{i},...~a_{j},...~a_{k}\rangle \to -(-1)^{j}\langle a_{0},...~ {\hat {a_{i))},...~a_{i-1},~a_{j},...~a_{k}\rangle =\\=-(-1)^{j }(-1)^{ij-1}\langle a_{0},...a_{j},...~a_{i-1},{\hat {a_{i}}}... ~a_{k}\rangle =(-1)^{i}\langle a_{0},...~a_{j},...~{\hat {a_{i))},... ~a_{k}\rangle \end{matris}}

- som förväntat (återvänder du till den gamla platsen måste du göra en införlivande, respektive byta skylten lika många gånger). ${\hat {a_{i))}$ $ij-1$

Låt oss definiera operatorn för den orienterade gränsen för simplexen enligt följande:

\partial _{k}\langle a_{0},...~a_{k}\rangle =\summa (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_ {i}}},...~a_{k}\rangle

Om du tar gränsoperatorn minskar dimensionen med 1. För en 0-dimensionell simplex (punkter) anser vi . Genom linjäritet utökar vi operatören till vilken kedja som helst. Gränsoperatorns huvudsakliga egenskap är följande: $A$ $\partial{A}=0$ $\partiell$

\partial _{k-1}\partial _{k}=0

Applicering på en simplex resulterar i att två hörn av den senare tas bort. Låt oss anta det . $\partial _{k-1}\partial _{k}$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $j<i$

Simplexet ingår i resultatet av den första åtgärden av operatören med tecknet , men i med tecknet , eftersom vertexet inte längre kommer att vara på -th plats, utan i -th. Dessa tecken är motsatta, vilket betyder att det kommer att vara lika med noll för varje simplex, och genom linjäritet - för vilken kedja som helst. $\langle a_{0},...~{\hat {a_{j}}},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ $(-1)^{i}\partial \langle {\hat {a_{i))}\rangle$ $(-1)^{i+j}$ $(-1)^{j}\partial \langle {\hat {a_{j))}\rangle$ $(-1)^{i+j-1}$ ${\hat {a_{j))}$ ${\hat {a_{i))}$ $i$ $(i-1)$ $\partial _{k-1}\partial _{k}$

Enkel homologi på komplex och polyedrar

En polyeder är en förening av polyedrar.

Om vi delar upp polyedrarna i förenklingar får vi ett enkelt komplex.

Enkel homologi introduceras på komplex och polyedrar enligt följande:

Betrakta gruppen av dimensionskedjor från förenklingarna av vårt komplex , betecknade med . $k$ $K$ $C_{k}(K)$

En kedja där gränsoperatorns värde är lika med noll (med andra ord ) kallas en cykel ; låt oss beteckna deras uppsättning . $c$ $\partial _{k}c=0$ $c\in \operatörsnamn {Ker} \;\partial _{k}$ $Z_{k}(K)$

Om det för någon kedja håller (med andra ord, ), så kallas kedjan för gränsen ; uppsättningen gränser kommer att betecknas med . $c'$ $c=\partial _{k+1}c'$ $c\in \operatörsnamn {Im} \;\partial _{k+1}$ $c$ $B_{k}(K)$

Eftersom operatorn är linjär bildar både gränserna och cyklerna undergrupper av kedjegruppen. Från det faktum att det är tydligt att vilken gräns som helst är en cykel, det vill säga . $\partiell$ $\partial \partial =0$ $B_{k}\subseteq Z_{k}$

Två strängar sägs vara homologa om de skiljer sig åt med en gräns. Det spelas in (dvs ). $x\sim y$ $x=y+\partiell z$

Faktorgruppen kallas gruppen av k-dimensionell enkel homologi av komplexet . $H_{k}=Z_{k}(K)/B_{k}(K)=\operatörsnamn {Ker} \;\partial _{k}/\operatörsnamn {Im} \;\partial _{k+1}$

Exempel

Låta vara ett endimensionellt komplex som är gränsen för en tvådimensionell simplex (triangel) . Låt oss hitta dess homologi. $S_{1}$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$

$B_{1}=0$ , eftersom det inte finns några tvådimensionella förenklingar i komplexet. Därför . Låt oss nu ta reda på när en endimensionell kedja kan vara en cykel. $H_{1}=Z_{1}/B_{1}=Z_{1}$

Låt oss ta en godtycklig kedja . Vi har: $c=x\langle a_{0},a_{1}\rangle +y\langle a_{1},a_{2}\rangle +z\langle a_{2},a_{0}\rangle$

\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle =0

Så . Därför har vilken endimensionell cykel som helst formen $zx=xy=yz=0;\quad x=y=z$ $c$

x(\langle a_{0},a_{1}\rangle +\langle a_{1},a_{2}\rangle +\langle a_{2},a_{0}\rangle )

betyder att det helt enkelt finns en oändlig cyklisk grupp . $H_{1}=Z_{1}$ $\mathbb {Z}$

Låt oss hitta nolldimensionell homologi. Sedan dess . Det följer av jämlikhet att och skiljer sig med gränsen. På liknande sätt , och skiljer sig med gränsen, har därför, upp till gränsen, vilken nolldimensionell kedja som helst formen . Det vill säga är helt enkelt en oändlig cyklisk grupp . Om det i sig är en gräns, det vill säga , då har vi det , och därför . $\partial _{0}=0$ $Z_{0}=C_{0}$ $\partial \langle a_{0},a_{1}\rangle =\langle a_{1}\rangle -\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{2}\rangle$ $t\langle a_{0}\rangle$ $C_{0}$ $\mathbb {Z}$ $t\langle a_{0}\rangle =\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle$ $xy=yz=0;\quad x=y=z;\quad t=zx=0$ $B_{0}=0$ $H_{0}=C_{0}/B_{0}=\mathbb {Z}$

Så, för gränsen för den tvådimensionella simplexen . $H_{0}=H_{1}=\mathbb {Z}$

Vissa egenskaper hos homologi

Om homologin för ett komplex är definierad, anses de också vara homologin för polyedern som motsvarar detta komplex. $K$ $|K|$

Homologigruppernas oberoende av valet av triangulering måste dock bevisas.

Det kan bevisas att en homomorfism motsvarar en kontinuerlig mappning av polyedrar , och denna överensstämmelse, som de säger, är funktionell , det vill säga en sammansättning av kontinuerliga mappningar motsvarar en sammansättning av homomorfismer av homologigrupper , och en identisk mappning motsvarar en identisk homomorfism . $f:|K|\till |L|$ $f_{*}:H_{k}(K)\till H_{k}(L)$ $(fg)_{*}=f_{*}g_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$

Om komplexet består av ett ändligt antal förenklingar, kommer homologigruppen att ha ett ändligt antal generatorer.

I det här fallet representeras den som en direkt summa av flera instanser av gruppen av heltal (deras antal, det vill säga homologigruppens rang kallas Betti-talet ) och ändliga cykliska grupper där var och en är en divisor (dessa tal kallas torsionskoefficienter ). Betti-talet och torsionskoefficienterna bestäms unikt. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{a_{0}},\mathbb {Z} _{a_{1}},...~\mathbb {Z} _{a_{i}},...~\mathbb { Z} _{a_{k}}$ $a_{i}$ $a_{i-1}$

Inledningsvis introducerade A. Poincaré dem bara för att karakterisera topologiska egenskaper.

E. Noether visade vikten av övergången till studiet av själva homologigrupperna.

Litteratur

Pontryagin L. S. Fundamentals of kombinatorisk topologi. — M .: Nauka, 1986
Steenrod N., Eilenberg S. Grunderna för algebraisk topologi. - M .: Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. En kurs i homotopi topologi. — M .: Nauka, 1989