Von Neumann-Bernays-Gödel system av axiom

Von Neumann-Bernays-Gödel axiomsystemet ( NBG , Gödel-Bernays axiomatik ) inom metamatematiken är en av de viktigaste axiomatiska mängdteorierna . Detta system är en förlängning av den kanoniska Zermelo-Fraenkel-teorin med valets axiom ( ZFC ). Meningar formulerade på ZFC-teorin är bevisbara i ZFC om och endast om de är bevisbara i NBG.

NBG-teorin inkluderar dessutom begreppet sin egen klass - ett objekt som har element, men som i sig inte kan vara medlem av något objekt. NBG inkluderar endast begreppsdefinitioner som inte hänvisar till begreppet som definieras; värden för bundna variabler i formler kan bara sättas. Uteslutningen av denna princip (avsaknaden av referenser till begreppet som definieras inom definitioner) gör NBG -systemet till ett Morse-Kelly-system (MK). NBG, till skillnad från ZFC och MK, kan axiomatiseras ändligt (med ett ändligt antal axiom).

Konceptsystem

Grundläggande för NBG är distinktionen mellan egenklasser och mängder . Låta och vara objekt. Sedan definieras en enkel proposition om är en mängd och är en klass; med andra ord, det definieras om det inte är en egen klass. Klasser kan vara väldigt stora, NBG har till och med en klass av alla set, en generisk klass som kallas . I NBG är det dock omöjligt att ha en klass av alla klasser (eftersom en riktig klass inte kan vara medlem i en klass) eller en uppsättning av alla uppsättningar (dess existens motsäger axiomsystemet ). $a$ $s$ $a\i s$ $a$ $s$ $a\i s$ $a$ $V$

I systemet med NBG-axiom bildar alla objekt som uppfyller alla givna formler för NBG första ordningens logik en klass. Om en klass inte kan uppfylla ZFC-axiomsystemet är det dess egen klass . Utvecklingen av klasser speglar utvecklingen av naiv mängdteori. Abstraktionsprincipen är given, vilket innebär att klasser kan bildas av alla objekt som uppfyller alla meningar av första ordningens logik; dessutom kan enkla meningar innehålla en medlemsrelation eller predikat som använder denna relation. Jämlikhet, operationen att bilda ett par element, underklasser och andra liknande begrepp är definierade och kräver inte axiomatisering - deras definitioner betyder en konkret abstraktion av formeln. Uppsättningar beskrivs med en metod nära ZF. Define (mängden representerar klassen ) är en binär relation definierad som $\operatorname {Rp} (A,a)$ $a$ $A$

$\operatörsnamn {Rp} (A,a):=\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in a).$

Detta betyder att representerar om alla element tillhör och vice versa. Klasser som inte har en uppsättning som representerar dem kallas korrekta klasser [1] . Ett exempel på en riktig klass är klassen av alla uppsättningar som inte innehåller sig själva (en klass som tilltalar Russells paradox ). $a$ $A$ $a$ $A$

Historik

Den första versionen av NBG inkluderade funktioner, inte uppsättningar, som grundläggande begrepp (von Neumann, 1920-talet). I en serie artiklar publicerade 1937-1954 modifierade Paul Bernays von Neumanns teori för att göra uppsättningar och medlemskapsrelationen grundläggande begrepp; han fann också att denna teori kunde axiomatiseras av ett ändligt antal axiom. Gödel (1940), medan han undersökte kontinuumhypotesens oberoende , förenklade och använde teorin. Montagu visade att ZFC inte kan axiomatiseras ändligt.

Axiomatisering av NBG

I det följande betecknar variabler med små bokstäver uppsättningar, och variabler med stora bokstäver betecknar klasser. Det betyder alltså att mängden tillhör mängden (är ett element i mängden ); a betyder att uppsättningen är medlem i klassen . Uttrycken , , betyder det (här kommer vi inte att vara helt strikta för enkelhetens skull). När vi beskriver ett formellt system kan vi använda symboler av en typ, och uppsättningarna skulle vara klasser som är medlemmar av minst en annan klass. $x\in y$ $x$ $y$ $y$ $x\in Y$ $x$ $Y$ $x=y$ $x=Y$ $X=Y$ $\forall a(a\in X\leftrightarrow a\in Y)$

Först konstruerar vi NBG-axiomsystemet med hjälp av klassgenereringsaxiomschemat (schemat motsvarar en oändlig uppsättning axiom). Detta schema motsvarar 9 axiom [2] . Således kan dessa 9 axiom ersätta klassgenereringsschemat. Således är NBG ändligt axiomatiserbar.

Systemet av axiom, inklusive klassgenereringsschemat

Följande 5 axiom är desamma som motsvarande ZFC-axiom

Extensionalitetens axiom . . Uppsättningar som innehåller samma element är lika. $\forall x(x\in a\leftrightarrow x\in b)\rightarrow a=b$
Par Existens Axiom . . För varje uppsättning och för varje uppsättning finns det en uppsättning vars element endast är och ). Av axiomet för existensen av ett par (förutsatt ) följer att det för varje mängd finns en mängd som endast består av ett element: . Vidare kan man definiera ett ordnat par set som t.ex. Genom att använda schemat för generering av underklassklasser (se nedan) får vi att vilken relation som helst också är en klass. Vissa av dessa relationer är funktioner av en eller flera variabler, injektioner, bijektioner från en klass till en annan. Parexistensens axiom är ett axiom i Zermelos mängdlära och ett teorem i ZFC. ${\displaystyle \forall x\forall y\exists z\forall w{\big (}w\in z\leftrightarrow (w=x\eller w=y){\big )))$ $x$ $y$ ${\displaystyle \{x,y\))$ $x$ $y$ $x=y$ $x$ $\{x\}$ $(a,b)$ ${\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \))$
Unification Axiom . För varje uppsättning finns det en uppsättning som består av exakt alla element i elementen . $x$ $x$
Axiomet för mängden delmängder . För varje uppsättning finns det en uppsättning som består av exakt alla delmängder av . $x$ $x$
Oändlighetens axiom . Det finns en uppsättning som uppfyller två villkor: den tomma uppsättningen tillhör ; för var och en som tillhör , hör uppsättningen också till . Detta axiom kan formuleras på ett sådant sätt att förekomsten av en tom mängd kommer att antydas [3] . $x$ $x$ $y$ $x$ ${\big \{}y,\{y\}{\big \))$ $x$

Följande axiom beskriver främst egenskaper hos klasser (och inkluderar därför stora bokstäver). De två första av dem skiljer sig från de i ZFC endast genom att de ersätter små bokstäver med stora bokstäver.

Axiom för extensionalitet (för klasser) . . Klasser med samma element är lika klasser. $\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B$
Axiom för Regularitet . Varje icke-tom klass innehåller ett element vars skärningspunkt med är tom. $A$ $A$

De två sista axiomen är kännetecknet för NBG.

Axiom för effektbegränsning . För varje klass existerar en uppsättning som uppfyller villkoret om och endast om det inte finns någon bijektion mellan och klassen för alla uppsättningar. Från detta axiom, på grund av von Neumann, kan man härleda delsättningsaxiomschemat, transformationsaxiomschemat och det globala valets axiom. I synnerhet kan axiomet för det globala valet härledas eftersom klassen av ordtal inte är en uppsättning; så det finns en bijektion mellan klassen av alla ordtal och . Om kardinalitetsbegränsningsaxiomet är avslappnat till följande: om domänen för en klassfunktion är en mängd, då är domänen också en mängd – då är det valda axiomet inte ett NBG-teorem i någon form. I det här fallet kan det valda axiomet i någon av formerna läggas till som ett axiom, om det behövs. Valets axiom i denna form finns i Mendelson (1997) NGB. Där finner vi det vanliga axiomet för mängder och följande form av transformationsaxiomschemat: om en klass är en funktion vars domän är en mängd, så är dess domän också en mängd [4] $C$ $c$ $c=C$ $C$ $V$ $V$ $F$
Axiomschema för underklassgenerering . För varje formel som inte innehåller kvantifierare för klassvariabler (formeln kan innehålla klassvariabler som parametrar), finns det en klass som . Detta axiom hävdar principen om obegränsad allokering (delmängder) av naiv mängdteori. Klasser är dock att föredra framför mängder eftersom paradoxer är eliminerade från mängdteorin. $\varphi$ $A$ ${\displaystyle \forall x{\big (}x\in A\leftrightarrow \varphi (x){\big )))$

Subklassgenereringsaxiomschemat är det enda schemat i NBG. Nedan visar vi hur detta schema kan ersättas av ett antal specialfall, som ett resultat av vilka NBG blir ändligt axiomatiserbart. Om de bundna variablerna i en formel kan sträcka sig över klasser (och inte bara mängder), så får vi Morse-Kelly mängdteori, en riktig förlängning av ZFC som inte kan axiomatiseras ändligt. $\varphi(x)$

Ersätter underklassgenereringsschemat med ett antal specialfall

En attraktiv och något kryptisk egenskap hos NBG är att underklassningsschemat kan ersättas av flera axiom som beskriver specialfall. Följande axiom kan helt ersätta subklassgenereringsschemat. Metoden för axiomatisering som anges nedan sammanfaller inte nödvändigtvis med den som finns i tryckta källor [5] .

Vi kommer att beskriva vår axiomatisering genom att beskriva formlers struktur. Först måste vi ha ett första lager av klasser.

Uppsättningar . För varje set finns det en klass som . Detta axiom, tillsammans med mängdaxiomen i föregående avsnitt, ger en initial uppsättning klasser och låter oss skriva formler med klasser som parametrar. $x$ $X$ $X=x$

Därefter beskriver vi den metod med vilken vi kommer att bilda uttryck för propositionell logik. Låt och . Sedan , . Eftersom det med hjälp av operationer och det är möjligt att skriva ner alla uttryck för propositionell logik, räcker det för oss att definiera addition och skärningspunkt mellan klasser. ${\displaystyle A=\{x\mid \varphi \))$ ${\displaystyle B=\{x\mid \psi \))$ $\{x\mid \lnot \varphi \}=VA$ $\{x\mid \varphi \vee \psi \}=A\kopp B$ $\linte$ $\landa$

Tillägg . För varje klass är komplementet en klass. $A$ $VA=\{x\mid x\notin A\}$
korsning . För alla klasser och korsningen är en klass. $A$ $B$ ${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\))$

Nu ska vi börja gå mot att inkludera kvantifierare i formler. För att använda flera variabler måste du kunna beskriva samband. Låt oss definiera ett beställt par och som vanligt: . Därefter beskriver vi axiom med hjälp av ordnade par: $a$ $b$ ${\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \))$

Produkt . För alla klasser och produkten är en klass (i praktiken behöver vi bara ). $A$ $B$ ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\))$ $V\times A$
Permutationer . Det finns klasser för varje klass. $R$ $\operatorname {Conv1} (R)=\{(b,a)\mid (a,b)\in R\},$ $\operatorname {Conv2} (R)={\big \{}{\big (}b,(a,c){\big )}\,{\big |}\,{\big (}a ,(b,c){\big )}\in R{\big \)).$
Associativitet . Det finns klasser för varje klass. $R$ $\operatorname {Assoc1} (R)={\big \{}{\big (}(a,b),c)\,{\big |}\,{\big (}a,(b, c){\big )}\in R{\big \)),$ $\operatorname {Assoc2} (R)={\Big \{}{\Big (}d,{\big (}a,(b,c){\big )}{\Big )}\,{ \Big |}\,{\Big (}d,{\big (}(a,b),c){\big )}{\Big )}\in R\}.$

Dessa axiom låter dig lägga till dummy-argument, samt ändra ordningen på argument i relationer av vilken art som helst . En speciell form av associativitet är utformad specifikt för att kunna flytta vilket uttryck som helst från listan till början av listan (naturligtvis även med hjälp av permutationer). Vi representerar listan med argument som (det vill säga som ett par av huvud (första argument) och svans (andra argument)). Tanken är att tillämpa tills argumentet vi är intresserade av blir det andra, sedan tillämpa eller , och sedan tillämpa tills användningen av . $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ${\displaystyle {\big (}x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}){\big )))$ $\operatörsnamn {Assoc1}$ $\operatörsnamn {Assoc1}$ $\operatörsnamn {Assoc2}$ $\operatörsnamn {Assoc2}$ $\operatörsnamn {Assoc1}$

Därefter vill vi axiomatisera följande uppsättning påståenden: om är en klass som är en relation, så är dess intervall en klass. $\{(x,y)\mid \varphi (x,y)\}$ $\{y\mid \exists x\,\varphi (x,y)\}$

Avstånd . För varje klass finns det en klass . $R$ ${\displaystyle \operatörsnamn {Rng} (R)=\{y\mid \exists x\,(x,y)\i R\))$

Därmed har vi erhållit den existentiella kvantifieraren; den universella kvantifieraren kan erhållas genom den existentiella kvantifieraren och negationen. Ovanstående axiom tillåter oss att flytta ett argument till framsidan av argumentlistan för att tillämpa en kvantifierare på det.

Slutligen innebär varje enkel formel att det finns följande relationer på klasser:

Tillhörighet . Det finns en klass . ${\displaystyle [{\in }]=\{(x,y)\mid x\in y\))$
Diagonalklass . Det finns en klass . ${\displaystyle [{=}]=\{(x,y)\mid x=y\))$

Den diagonala klassen, tillsammans med förmågan att ordna om argument och lägga till dummy-argument, låter dig ersätta samma argument i relationer.

Variant av Mendelssohn

Mendelssohn hänvisar till sina axiom B1 - B7 som axiomen för existensen av klasser. Fyra av dem sammanfaller med ovanstående: B1 - tillhörighet; B2 - korsning; B3 - addition; B5 - multiplikation. B4 - intervallet ges i form av domänens existens (existenskvantifieraren är y , inte y ). De två sista axiomen är: $y$ $x$

B6 $\forall X\,\exists Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\i Y\leftrightarrow (v,w,u)\i X],$
B7 $\forall X\,\exists Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\i Y\leftrightarrow (u,w,v)\in X].$

B6 och B7 tillåter oss att göra det som i vårt fall gjordes med hjälp av permutations- och associativitetsaxiom. För varje klass som innehåller trippel finns det en annan klass som innehåller samma trippel, där elementen permuteras på samma sätt.

Diskussioner

För en diskussion av de filosofiska och ontologiska frågor som NBG ställt, särskilt i relation till skillnaderna med ZFC och MK, se Appendix C av Potter (2004).

Även om NBG är en förlängning av ZFC, kan vissa teorem bevisas enklare och elegantare i NBG än i ZFC (eller vice versa). För en genomgång av kända resultat inom detta område, se Pudlak (1998).

Modellteori

ZFC, MK, NBG har en modell definierad med (standardmodell i ZFC och universum i NBG). Låt nu inkludera ett onåbart kardinalnummer . Låt oss ange de definierade delmängderna . Sedan $V$ $V$ $k$ $\operatorname {Def} (x)$ $\Delta _{0}$ $X$

$V_{k}$ är en ZFC-modell.
$\operatorname {Def} (X)$ är NBG-modellen,
$V_{{k+1}}$ är MK-modellen.

Kategoriteori

NBG:s begreppssystem tillåter oss att prata om stora föremål utan risk att snubbla över en paradox. I synnerhet i många tolkningar av kategoriteori betyder en stor kategori en kategori där en uppsättning objekt är en klass för sig, precis som en uppsättning morfismer. Små kategorier, å andra sidan, är kategorier där uppsättningar av objekt och morfismer är uppsättningar. Därför kan vi, utan risk för paradoxer, tala om kategorin för alla uppsättningar eller kategorin för alla små kategorier. Dessa kategorier är naturligtvis stora. Men man kan inte tala om en kategori av alla kategorier, eftersom den måste omfatta kategorin av alla små kategorier. Det finns dock andra förlängningar av begreppssystem som gör att man kan tala om uppsättningen av alla kategorier som en kategori (se kvasi-kategorin av alla kategorier i Adámek et al. (1990)).

Ett system av begrepp inklusive klasser och mängder är tillräckligt för att motivera kategoriteori (Muller, 2001).

Anteckningar

↑ Engelsk term . proper class är översatt som en ordentlig klass enligt den översatta boken av S. McLane "Categories for the Working Mathematician".
↑ Mendelson (1997), sid. 232, Proposition 4.4 bevisar att klassgenereringsschemat är ekvivalent med axiomen B1-B7 som beskrivs på sid. 230.
↑ Mendelson (1997), sid. 239, ex. 4,22(b).
↑ Mendelson (1997), sid. 239, axiom R.
↑ Denna artikel är en översättning från engelska Wikipedia.

Litteratur

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst & Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats) (1:a upplagan), New York: Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60922-3 , < http: //katmat.math.uni-bremen.de/acc/ >
Bernays, Paul (1937), A System of Axiomatic Set Theory—Del I , The Journal of Symbolic Logic vol 2 (1): 65–77 , DOI 10.2307/2268862
Bernays, Paul (1941), A System of Axiomatic Set Theory—Del II , The Journal of Symbolic Logic vol 6 (1): 1–17 , DOI 10.2307/2267281
Bernays, Paul (1991), Axiomatic Set Theory (2nd Revised ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-66637-2
Bourbaki, Nicolas (2004), Elements of Mathematics: Theory of Sets , Springer, ISBN 978-3-540-22525-6 , < https://archive.org/details/springer_10.1007-978-3-642-59309 -3 >
Chuaqui, Rolando (1981), Axiomatic Set Theory: Impredicative Theories of Classes , North-Holland, ISBN 0-444-86178-5
Cohen, Paul (1963), The Independence of the Continuum Hypothesis , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America vol 50 (6): 1143–1148, PMID 16578557 , DOI 10.1073/pnas.1436.
Cohen, Paul (1966), Set Theory and the Continuum Hypothesis , W. A. Benjamin
Dawson, John W. (1997), Logiska dilemman: Kurt Gödels liv och arbete , Wellesley, MA: A. K. Peters
Easton, William B. (1964), Powers of Regular Cardinals , Princeton University
Felgner, Ulrich (1971), Comparison of the axioms of local and universal choice , Fundamenta Mathematicae T. 71: 43–62, doi : 10.4064/fm-71-1-43-62 , < http://matwbn.icm. edu.pl/ksiazki/fm/fm71/fm7113.pdf >
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought (2:a reviderade upplagan), Basel, Schweiz: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
Gödel, Kurt (1940), The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory (Reviderad utg.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1
Gödel, Kurt (1986), Samlade verk, Volym 1: Publikationer 1929–1936 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514720-9
Gödel, Kurt (1990), Samlade verk, Volym 2: Publikationer 1938–1974 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514721-6
Gödel, Kurt (2003), Samlade verk, Volym 4: Correspondence A–G , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850073-5
Gray, Robert (1991), Datorprogram och matematiska bevis , The Mathematical Intelligencer vol 13 (4): 45–48 , DOI 10.1007/BF03028342
Hallett, Michael (1984), Cantorian Set Theory and Limitation of Size (Inbunden utg.), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853179-1
Kanamori, Akihiro (2009b), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings , Springer, ISBN 978-3-540-88867-3
Kanamori, Akihiro (2009), Bernays and Set Theory , Bulletin of Symbolic Logic vol . 15 (1): 43–69, doi : 10.2178/bsl/1231081769 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 17a.pdf >
Kanamori, Akihiro (2012), In Praise of Replacement , Bulletin of Symbolic Logic vol. 18 (1): 46–90, doi : 10.2178/bsl/1327328439 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 20.pdf >
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs (Hardcover ed.), North-Holland, ISBN 978-0-444-86839-8
Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4:e upplagan), London: Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2 - Pp. 225-86 innehåller den klassiska läroboksbehandlingen av NBG, som visar hur den gör vad vi förväntar oss av mängdteori, genom att jorda relationer , ordningsteori , ordningstal , transfinita tal ,etc.
Mirimanoff, Dmitry (1917), Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles, L'Enseignement Mathématique T. 19: 37–52
Montague, Richard (1961), Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I, i Buss, Samuel R. , Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics , Pergamon Press, sid. 45–69
Mostowski, Andrzej (1950), Some impredicative definitions in the axiomatic set theory , Fundamenta Mathematicae vol . 37: 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124 , < http: //matwbn.icm . .pl/ksiazki/fm/fm37/fm37110.pdf >
Muller, FA (1 september 2001), Uppsättningar, klasser och kategorier , British Journal for the Philosophy of Science vol. 52 (3): 539–73, doi : 10.1093/bjps/52.3.539 , < http://philsci -archive.pitt.edu/1372/1/SetClassCat.PDF >
Müller, Gurt, red. (1976), Sets and Classes: On the Work of Paul Bernays , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Volume 84, Amsterdam: North Holland, ISBN 978-0-7204-2284-9
Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction (Hardcover ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-926973-0
Pudlák, Pavel (1998), The Lengths of Proofs , i Buss, Samuel R. , Handbook of Proof Theory , Elsevier, sid. 547–637, ISBN 978-0-444-89840-1
Smullyan, Raymond M. & Fitting, Melvin (2010), Set Theory and the Continuum Problem , Dover, ISBN 978-0-486-47484-7
Solovay, Robert M. (1990), Introductory note to 1938 , 1939 , 1939a and 1940 , Kurt Gödel Collected Works, Volume 2: Publications 1938–1974 , Oxford University Press, sid. 1–25, ISBN 978-0-19-514721-6
von Neumann, John (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta Litt. Acad. Sc. Szeged X. T. 1: 199–208 , < http://bbi-math.narod.ru/newmann/newmann.html >
von Neumann, John (1925), Eine Axiomatisierung der Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 154: 219–240 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/? PPN=PPN243919689_0154&DMDID=DMDLOG_0025 >

Länkar

von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift T. 27: 669–752, doi : 10.1007/ bf01171122 , > LOG .
von Neumann, John (1929), Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 160: 227–241 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/ img/?PPN=PPN243919689_0160&DMDID=DMDLOG_0019 > .

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)