Operatörsspektrum

Spektrum för en operator är en uppsättning tal som kännetecknar en linjär operator . Tillämpas på linjär algebra , funktionsanalys och kvantmekanik .

Ändligt dimensionellt fall

Låt A vara en operator som verkar i ett ändligt dimensionellt linjärt utrymme E . Spektrum för en operator (vanligtvis betecknad ) är uppsättningen av dess egenvärden . $\sigma (A)$

Kvadratordningsmatrisen kan ses som en linjär operator i n-dimensionellt rum, vilket gör att vi kan överföra "operator"-termer till matriser. I det här fallet talar man om matrisens spektrum . $n$

Allmän definition

Låt A vara en operatör som agerar i ett Banach-utrymme E över . Ett tal λ kallas regelbundet för en operator A om operatorn , kallad resolvent för operatorn A , är definierad på hela E och är kontinuerlig . Uppsättningen av reguljära värden för operatorn A kallas resolventuppsättningen för denna operator, och komplementet av upplösningsmängden kallas denna operators spektrum . Spektrum för en avgränsad operator är kompakt eller tom. Spektrum för en linjär avgränsad operator är icke- tomt. $\mathbb {C}$ $R(\lambda )=(A-\lambda I)^{{-1}}$ $\sigma (A)$ $\mathbb {C}$

Inom en operatörs spektrum är det möjligt att peka ut delar som inte är identiska i sina egenskaper. En av huvudspektrumklassificeringarna är följande:

Ett diskret (punkt)spektrum är en uppsättning av de som operatören inte är injektiv för . Det diskreta spektrumet är mängden av alla egenvärden för operatorn A ; i det finita dimensionella fallet finns det bara ett punktspektrum; $\sigma _{p}(A)$ $\lambda$ $A-\lambda I$
det kontinuerliga spektrumet är uppsättningen värden för vilka upplösningsmedlet är definierat på en överallt tät uppsättning i E , men inte är kontinuerlig (det vill säga, operatören är injektiv, men inte surjektiv , och dess bild är tät överallt); $\sigma _{c}(A)$ $\lambda$ $(A-\lambda I)^{{-1}}$ $A-\lambda I$
restspektrumet är uppsättningen av punkter i spektrumet som inte ingår i vare sig de diskreta eller kontinuerliga delarna (det vill säga, operatören är injektiv, inte surjektiv, och dess bild är inte överallt tät). $\sigma _{r}(A)$ $A-\lambda I$

Det maximala absoluta värdet av punkter i spektrumet för en operator A kallas spektralradien för denna operator och betecknas med . I detta fall är jämställdheten uppfylld . $r(A)$ $r(A)=\lim _{{n\to \infty }}\|A^{n}\|^{{1/n}}$

I det komplexa fallet är resolventet en holomorf operatorvärderad funktion på resolventuppsättningen. I synnerhet kan den utökas till en Laurent-serie centrerad på . $\lambda >r(A)$ $z=0$

Skillnaden mellan de två maximala absoluta värdena från spektrumet kallas spektralgapet ( eng. spectral gap ).

I kvantmekaniken

Spektrum av självanslutna operatörer spelar en viktig roll i kvantmekaniken , och definierar uppsättningen av möjliga värden för det observerbara när det mäts . Speciellt bestämmer Hamiltonianens spektrum de tillåtna energinivåerna för ett kvantsystem .

Kontinuerligt spektrum i kvantmekanik

Ett kontinuerligt spektrum är ett spektrum av värden för en fysisk storhet, där, till skillnad från ett diskret spektrum, värdet av denna kvantitet bestäms för varje egentillstånd i systemet, och en oändligt liten förändring i systemets tillstånd leder till en oändligt liten förändring i den fysiska kvantiteten. Följande kan fungera som en fysisk storhet: koordinat, rörelsemängd, energi, orbitalt rörelsemoment etc. Eftersom en godtycklig vågfunktion kan expanderas i en serie egenfunktioner av en storhet med ett diskret spektrum, kan den även expanderas till en integral över hela ett system av egenfunktioner av kvantitet med ett kontinuerligt spektrum. $\psi$

Se även

Projektor (algebra)
Spektrum av algebra

Litteratur

Matematisk uppslagsverk. - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 5 Slu - Ya. - 1248 sid.